稳健估计抗差性分析与应用

刘佳丽， 赵自雨， 张永彬

(华北理工大学 矿业工程学院，河北 唐山 063009)



稳健估计抗差性分析与应用

刘佳丽， 赵自雨， 张永彬

(华北理工大学 矿业工程学院，河北 唐山 063009)

最小二乘法；稳健估计；粗差探测；变形监测；方法比较；MATLAB

稳健估计方法与最小二乘法在测量界的应用颇多，二者各有优劣。文中介绍了这2种方法在变形监测中的应用，并运用 MATLAB 进行数据的编程与处理。将2种计算结果进行对比，结果表明，稳健估计方法能够准确探测粗差的位置，并且剔除粗差，得到更加精确的结果。研究得知，在测量数据中存在粗差的情况下用稳健估计方法进行平差计算能得到更准确的结果。

由于稳健估计具有独特的抗粗差效果，近年来在测绘行业有着广泛应用，其发展也突飞猛进。选择几个权威研究成果开展进一步探索与研究，1989年周江文教授提出了测量平差中存在不等权观测值时的等价权原理[3]。1991年杨元喜对等价权原理作了进一步研究，提出了基于相关等价权函数的稳健估计方法，10年后又对等价权函数进行了扩充，构造出双因子等价权模型。这些研究成果为稳健估计在测绘中的广泛应用打下了基础。

随着城市建设的展开，在施工测量方面也面临着一定的需要及时解决的难题，测量过程中出现的变形就是其中之一，也是整个测绘行业人员共同努力的重点研究对象。实际工作中，由于周围环境及地质条件复杂，监测项目冗杂、工作量大、工期长，此外施工过程中的干扰及其它一些不可预计因素的影响，往往导致监测数据中出现少量粗差。因此，变形监测中数据处理[1-2]方法的准确应用显得尤为重要。在不可避免的粗差干扰情况下，稳健估计可降低粗差对于参数估值的影响并得出接近最优的参数估值，相比传统最小二乘估计，稳健估计有较为明显的优势。该项目对稳健估计的抗差性展开进一步研究，并与传统最小二乘方法进行对比。

1 模型研究

稳健估计能够限制使用观测数据中的有效信息，排除干扰信息，即粗差。一般分为3类：M估计(极大似然估计)，L估计(排序线性组合估计)和R估计(秩估计)。其中M估计是经典极大似然估计的推广，实施简便。M估计的方法有很多[4-5]，算法类似于最小二乘平差，其中易于程序实现的是选权迭代法[6]，它根据回归残差的大小确定各点的权，给残差大的点赋予小权甚至零权，以削弱其对回归的影响，以达到稳健的目的。文中将根据等权独立观测和不等权独立观测2种情况来进行描述。

1.1 等权独立观测的选权迭代法

矩阵型式，得BTWV=0，其中W称为稳健权因子。将误差方程带入可得估计值：

(1)

选定权函数后，即可确定稳健权阵W，但ωi是Vi的函数，故稳健估计需要对权函数进行迭代求解[9]。

1.2 不等权独立观测的选权迭代法

(2)

(3)

(4)

(5)

2 案例分析

福州排下站坐落在螺州路北的福峡路黄山村附近，西北至东南走向，其地貌类型主要为闽江下游冲淤积平原，北侧和东北区域属冲淤积平原与丘陵坡脚交接部位；东边北侧分布地貌为剥蚀丘陵，靠近福峡路大面积丘陵已开挖，东北角经过人工切坡主要为全至强风化岩层。地势较为平坦，地面标高为7.5～8.3 m。车站中心里程为右SK19+936.00，主体结构尺寸长为267.6 m，宽约为17.8 m。基坑起测深度为19.5 m终测深度为0.5 m，每隔0.5 m布置一个监测点，为期37 d 5次的监测，每次监测39组数据。

本次实验选取第5次观测的前24组数据进行分析，如表1所示，经过验证，该数据不含粗差。应用最小二乘和稳健估计2种方法研究位移变化量与孔深的相关性，预测后几组的位移变化量。分别讨论含粗差和不含粗差时2种方法的准确度。

表1 原始观测数据

3 实验结果与讨论

为了比较最小二乘方法和稳健估计在变形监测工程数据处理中的不同效果，通过MATLAB[10]进行最小二乘法和稳健估计的程序实现，并对二者精度进行比较。对比数据中存在粗差时2种方法受到干扰的程度，进一步说明稳健估计的抗差效果。

3.1 不含粗差的情况

图1所示为原始数据残差图。

图1 原始数据残差图

通过观察图1可以看出，数据中的残差皆在标准差上下浮动，并无过分偏离，说明原始数据不存在粗差。在MATLAB中运行最小二乘和稳健估计回归分析的程序编码，可得到如下拟合结果，如图2所示。图中绿色虚线代表稳健估计的拟合直线，红色直线代表最小二乘的拟合直线。可以看出二者的拟合结果基本相同，而且拟合方程十分贴近数据点的分布。

图2 拟合结果对比

程序运行结果得出，最小二乘法得到的回归方程为y1=4.520 9+0.297 46x；稳健估计得到的回归方程为y2=4.513 7+0.296 9x。通过精度分析可知，在不含粗差的情况下，最小二乘拟合效果有较小优势且易于实施。

3.2 存在粗差的情况

为了验证稳健估计的抗粗差效果，将原始数据中第3组、第6组和第10组数据的位移变化量改为5.63、5.39和4.66，相当于人为加入了粗差，改动后数据如表2所示。

表2 加入粗差后数据

残差图中的红色竖条为粗差，如图3所示。

图3 残差图

在MATLAB中实现最小二乘和稳健估计回归分析，得到新的拟合结果。其中，最小二乘法的拟合方程为y3=5.039 8+0.346 6x；稳健估计的拟合方程为y4=4.839 5+0.327 0x，如图4所示。

图4 加入粗差后拟合结果对比

图中虚线为稳健估计的拟合结果，实线为最小二乘的拟合结果。修改数据前后2次拟合结果对比可知，加入粗差后最小二乘的拟合结果与不含粗差情况下得到的结果相差甚远，并且在接近粗差的位置变动更加明显，而加入粗差后稳健估计的结果与原始数据得到的结果并无明显差别。通过对拟合结果的分析，可以看出随着基坑深度的增加，位移变化量逐渐减小，可根据工程需要将深度数据带入拟合方程求解12 m之后的位移变化量，在一定程度上减小了劳动强度与资源消耗。

4 结论

(1)通过稳健估计与最小二乘法的对比分析可以看出，二者皆有优势。在数据非常准确的情况下，采用最小二乘方法简便可行。然而测量中往往存在不可避免的粗差，这时就体现了稳健估计的优越性。稳健估计在采用的假定模型下，所得参数估计值对于经典的假定模型而言较为合理，相较传统最小二乘而言更加接近最优；如果实际模型与假定模型存在较小的偏差，稳健估计对应的参数估计受到的影响较小；即使实际模型与假定模型有较大偏差，稳健估计的参数估计性能也不会很低，不会导致参数估计值产生明显的偏差。

(2)当变形监测数据含有粗差时，可以选择稳健估计的平差方法剔除粗差，从而得到更加准确的结果，即使在数据不完整的情况下，运用稳健估计也可以进行较为准确的预测，保证施工质量。

[1] 钟红,魏淑英. 基于丹麦法稳健估计在地铁变形监测中的应用[J].吉林地质.2014,33(03): 110-112.

[2] 彭仪普,伍绍浩,张莹超. 基于稳健估计的沉降预测方法[J].铁道科学与工程学报.2014,11(05): 112-117.

[3] 杨培红,光辉. 抗差卡尔曼滤波在矿山建筑物变形监测数据处理中的应用[J].煤炭技术.2013,32(10):107-108.

[4] 杨坤,简汉佳. 基于稳健估计的GPS水准在线状工程中的应用[J].测绘通报.2014,(10): 57-59.

[5] 陈永星. 稳健估计在水准网数据处理中的应用[J].长春工程学院学报:自然科学版. 2012,13(04): 66-68.

[6] 龚循强,李通,陈西江. 总体最小二乘法在曲线拟合中的应用[J].地矿测绘.2012,28(03): 4-6.

[7] 陈西强,黄张裕. 抗差估计的选权迭代法分析与比较[J].测绘工程.2010,19(04):8-11.

[8] 吴杰,余腾. 稳健估计及其在秩亏网中的应用[J].南京工程学院学报:自然科学版.2010,8(02):63-67.

[9] 云磊.牛顿迭代法的MATLAB实现[J].信息通信,2011,(06):20-22.

[10] 吕喜明,李明远. 最小二乘曲线拟合的MATLAB实现[J].内蒙古民族大学学报:自然科学版.2009,24(02):125-127.

Robustness Analysis of Robust Estimation and Their Application

LIU Jia-li, ZHAO Zi-yu, ZHANG Yong-bin

(College of Mining Engineering, North China University of Science and Technology, Tangshan Hebei 063009, China)

least square method; robust estimation; gross error detection;deformation monitoring; method comparison; MATLAB

Least square method and robust estimation are widely used in various fields of surveying, both methods have their respective advantages. The application of these two methods in deformation monitoring was introduced, while the data was programmed and processed by use of MATLAB. The two calculation results were compared, show by that using the robust estimation, gross errors can be accurately detected and eliminated, thus more accurate result of adjustment can be obtained. Experiment prove that if there are gross errors in the measurement data, using the robust estimation method for adjustment calculation can get more accurate results.

2095-2716(2017)01-0001-05

P207+.2

A