例谈数学模型建构中的理性思维培养

秦亚平

摘 要：模型建构的过程就是理性思维的体现和落实过程。以“酵母菌种群数量的J型增长模型”为例，阐述了模型建构作为理性思维培养的有效载体，借助于模型建构目的的明确确立思维的方向，通过观察、比较、分析、综合、抽象与概括等训练强化理性思维方法，以假说提出与验证中的推理方法，以及模型的检验与完善环节培养学生的理性思维。

关键词：模型建构；理性思维；推理

高中生物教学中培养学生的理性思维，就是要培养学生尊重事实和证据，崇尚严谨和务实的态度，运用科学的思维方法认识事物、解决实际问题的思维习惯和能力。模型建构是高中阶段学生必须培养的能力之一，也是核心素养理性思维培养的重要载体。模型的建构过程中无不闪烁着理性思维的火花，本文以“酵母菌种群数量的J型增长模型”为例，阐述数学模型建构中蕴含的理性思维。

一、理性思维的首要之务是明确模型建构目的

模型建构是根据某一特定目的，抓住研究事物原型的本质特征，对原型进行抽象，把复杂的原型加以简化、纯化或理想化，提炼出能反映事物本质联系的模型过程。模型是根据某一特定目的而构建的，也就指明了思维的方向，避免了思维的无序，这正是理性思维的理性基点，也是思维的最基本特征。在模型的构建中，需要引导学生关注需要构建什么样的模型，以解决什么问题，确保思维方向的准确。建构“酵母菌种群数量的J型增长模型”（以下简称“J型模型”），就要明确建构模型的目的在于发现并用数学的方式表达出种群数量增长的规律，把思维的方向和重心落在时间与种群数量增长的关系上，避免其他非本质、无关因素对模型构建的思维干扰。

二、理性思维方法训练是提炼模型本质特征的基础

理性思维是一种有明确思维方向和依据，对事物进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括的思维方式。模型构建需要对已有事实和证据进行分析与综合，经舍弃个别的、非本质的现象，抽象、概括出共性的、本质的特征，并推广到同类事件中。分析与综合、抽象与概括正是思维和理性思维的基本方法。例如，图1为酵母菌在不同培养条件下的种群数量增长示意图，在“J型模型”的构建时，需要通过比较分析，摒弃、忽略各种J型曲线的差异，本着求同存异，发现共性，抽象、概括出种群数量增长的共同趋势；图2为某岛屿环颈雉的种群数量增长示意图，在“J型模型”的构建时，需要淡化、弱化乃至排除季节、气候等非本质因素的干扰，舍弃次要因素和无关因素带来的干扰，透过现象，揭示种群数量J型增长的规律。

三、符合逻辑的推理是模型形成中理性思维的表现之一

“只要自然科学在思维着，它的发展形式就是假说”。（恩格斯）未经证实的模型实质就是假说，假说在许多学生眼里就是一个随心所欲的论断，不需要证据、不需要逻辑推理。然而，假说不是臆测，在假说的形成中，需要基于已有的知识、事实和经验，运用分析和综合、抽象与概括等多种思维方法，进行合理推理。这既体现了理性思维，又保证了模型的科学性。

（一）假说提出中的推理方法

假说的提出是以为数不多的事实和科学知识、原理为依据，做出的初步推测[1]。假说的形成需要合乎逻辑的推理，类比推理、归纳推理被经常运用。在“J型模型”的构建时，基于细菌经历若干次分裂得到的系列实验数据等事实，结合细菌繁殖的理论资料，发现了细菌种群数量与时间之间存在的指数函数关系，正是运用了归纳推理中的不完全数学归纳法。同时，也正是运用的是不完全数学归纳法，推理的结果不是必然的，存在着或然性，因此，必须进一步用实验证实。

（二）假说验证中的推理方法

通过初步推测提出的假说，还不足以成为科学假说，需要依据提出的假说，运用演绎推理的方法，用已有的事实加以尝试性的验证。如果对已经存在的现象、事实都无法自圆其说，也就失去了成为科学假说的可能。只有那些能顺利通过验证的方能确立为假说，进而进入实验检验阶段。在“J型模型”的构建时，当通过实验数据的分析、推测出Nn=2n后，需要运用该假说进行演绎推理，推论出分裂一次、二次、三次……的结果，观察是否与已有的实验数据相吻合。如果不吻合，说明提出的种群数量增长假说不成立，事实上，因为假说Nn=2n与实验数据的吻合，才进入了后续的实验检验阶段。

四、理性思维推动着模型的检验与完善

理性思维是一种建立在证据和逻辑推理基础上的、严格遵守逻辑规律的思维方式。目的明确、有理有据、推理严谨是其重要特征。辩证地思考，实事求是地判断是非正误，缜密地分析、反思自己思维过程的合理性，既是理性思维的重要体现，也是批判性思维的现实表现。

（一）模型检验中的理性思维

在模型假说经受住了已有事实的考验后，荣升为了科学假说，但需要有进一步的检验后方能成为科学结论，在此检验过程中必然需要用到演绎推理，即用科学假说进行演绎推理出预期的结果，用实验或其他手段，检验真实的结果与预期结果是否相吻合，如果一致，则证明了科学假说是正确的，成为了科学结论。在“J型模型”的构建时，由于假说的得出运用的是不完全数学归纳法，用数学归纳法的证明方法即可予以验证，即预期第n+1次时，细菌的种群数量是否为2n+1，如果实验的结果确为2n+1，就检验了假说的正确性。

（二） 模型完善中的理性思维

合理的完善、弥补存在的不足是理性思维的应有之举。构建模型的目的在于发现现象或问题的本质，并借助于模型解决一个或一类问题，因此，往往需要对模型进行完善，以普适于相似问题情境，解决类似问题。在“J型模型”的构建中对J型增长模型进行了两方面的完善。一方面是对模型适用条件的完善。任何一个规律、模型一定有特定的使用对象，适用条件是一个完整模型的必然组成部分。在“J型模型”的构建时，从细菌的实验室培养条件，到澳大利亚野兔、美国岛屿上环颈雉的种群数量快速增长的条件分析，归纳、提炼出：J型增长模型必须在“在食物和空间条件充裕、气候适宜、没有敌害等条件下”方可适用。另一方面是对模型本身的完善，即由细菌增长模型Nn=2n拓展到了适合所有生物的Nt = N0λt，具体有两点：一是将初始生物个体数由细菌实验中的1推广到了任何初始数量N0；二是将种群数量每年增长的倍数由细菌2推广到了适合所有生物、具体条件下的不同λ，大大拓宽了模型适用的范围，使得模型有了更大的发挥空间。

理性思维是生物学科核心素养之一，理性思维培养应该成为高中生物教学的基本目標之一。模型建构为理性思维的培养提供了有效载体，模型建构过程就是理性思维的具体体现和落实过程。在模型的构建中，要理性分析为什么要构建，构建什么样的模型，要抓住事物的本质特征，运用分析与综合、抽象与概括等理性思维的基本方法，合乎逻辑的推理，提炼出能反映事物本质的模型，并在检验和完善中走向完美。

参考文献：

[1]蔡贤浩.形式逻辑.武汉：华中师范大学出版社，2007：182-189.endprint