求解感应电动势的多种方法

2017-12-13辽宁

教学考试(高考物理) 2017年5期

关键词：磁感线强磁场电动势

辽宁郑金

通过专题归纳和分类解析，有助于深化理解和灵活应用。

求解感应电动势的多种方法

一、匀强恒定磁场问题

磁场的强度和方向处处相同，不随时间和空间而变化。

1.直线导体平动切割磁感线

直线导体在匀强磁场中平动，垂直切割磁感线产生的感应电动势的公式为E=Blv，属于动生电动势。

【例1】如图1所示，顶角为θ的金属导轨MON固定在水平面内，导轨处在磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。一根与ON垂直的导体棒在水平外力作用下以恒定速度v0沿导轨向右滑动，导体棒的质量为m，与导轨的接触点为a和b，在滑动过程中始终保持与导轨良好接触。导轨与导体棒单位长度的电阻均为r。当t=0时，导体棒在顶角O处，求经历时间t的过程中电路产生的焦耳热。

图1

2.直导线绕圆心匀速转动切割磁感线

在利用公式E=Blv求解感应电动势时，由于导体上各点的速度大小不同，是按导体棒上的不同位置到一端的距离而线性变化的，需求出速度对长度的平均值，其值等于导体棒中点的速度大小。

【例2】如图2所示，两个金属圆环共轴放置，大圆半径为R，小圆半径为r，内圆上一点M与外圆上一点N用一根导体棒相连，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于圆环所在平面且向外，若两个圆环同时绕过圆心且与磁场方向平行的轴O以角速度ω沿逆时针方向旋转，求MN两点之间的电势差。

图2________________________图3

【点评】解法1是求感应电动势的瞬时值，关键是求出导体棒MN切割磁感线的等效长度以及速度对长度的平均值即导体棒中点的速度大小，还要注意电势高低的判断。解法2是求感应电动势的平均值，所选择的研究过程是一个周期，关键是计算导体棒MN扫过的面积以及运动时间。

3.矩形线圈绕轴匀速转动切割磁感线

【例3】如图4所示，在匀强磁场中的矩形线圈匀速转动的周期为T，转轴O1O2垂直于磁场方向，线圈电阻为2 Ω。从线圈平面与磁场方向平行时开始计时，当线圈转过60°时的感应电流为1 A，那么

( )

图4

A.线圈消耗的电功率为4 W

B.线圈中感应电流的有效值为2 A

【答案】AC

【点评】解题关键是判断线圈产生正弦交变电流并写出感应电动势的瞬时值表达式，然后利用已知条件求出感应电动势的瞬时值、最大值。要注意计时开始时线圈平面与磁感线的夹角、线圈平面转过的角度以及瞬时值表达式中的角度三者之间的关系。

二、非匀强恒定磁场问题

磁感应强度随空间而变化，但不随时间而变化。

1.辐射状磁感线

【例4】如图5所示，很长的光滑磁棒竖直固定在水平面上，在它的侧面产生水平向外的辐射状的磁场，有一个质量为m的圆形线圈，半径为r，电阻为R，让水平线圈从磁棒上端由静止释放，线圈所在处的磁感应强度大小为B，重力加速度为g，不计感应电流对磁场的影响，求线圈下落过程中的最大速度vm。

图5

【点评】该题利用公式E=Blv求解感应电动势，但磁场不是匀强磁场，切割磁感线的导体也不是直线，解题关键是利用了微元法，把线圈视为很多小段直导线垂直切割磁感线，再由叠加法求出整个线圈产生的感应电动势以及受到的安培力。线圈切割磁感线而产生感应电动势，属于动生感应电动势。

(5)不考虑测量误差时，使用未处理的T矩阵辨识出的结构误差与理想值之间的最大差值为1.5 mm，考虑测量误差时，误差辨识精度进一步降低，在此不再列图。

2.磁感应强度在某一方向随空间线性变化

磁场不随时间而变化，但在空间上分布不均匀，在某一方向上随空间线性增强或减弱。

图6

【点评】该题利用公式E=Blv求解感应电动势，但磁场不是匀强磁场，由于磁场随空间均匀变化，因此需求出线框两个边切割磁感线时产生的感应电动势的大小和方向，即可得出总电动势。由磁场空间变化率和空间距离可算出磁感应强度变化量为ΔB=B2-B1=kl。

三、匀变磁场问题

1.匀强磁场随时间均匀变化问题

【例6】如图7所示，水平放置的固定平行导轨间距为L，导轨一端连接阻值为R的电阻，一根导体棒垂直导轨放在导轨上，导体棒和导轨电阻不计，摩擦不计，整个装置处在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度随时间的变化规律为B=B0+kt，其中k是大于零的常数。导体棒ab在水平外力的作用下，以速度v沿导轨向左做匀速运动，t=0时，导体棒ab与MN相距为d，求在时间t0时电路的感应电动势。