基于多回路理论的异步电机径向电磁力计算

何海波，刘海龙

武汉船用电力推进装置研究所，湖北武汉430064

基于多回路理论的异步电机径向电磁力计算

何海波，刘海龙

武汉船用电力推进装置研究所，湖北武汉430064

［目的］为了研究变频器供电下的异步电机振动噪声，提出基于多回路模型的异步电机径向电磁力计算方法。［方法］在由定转子基波电流计算气隙磁动势的传统计算方法的基础上，推导由任意定子绕组及转子导条电流计算气隙磁动势及其产生的径向电磁力的解析计算公式。介绍多回路理论及电机各电磁参量的计算方法，建立异步电机多回路动态仿真模型，获得异步电机定子绕组及转子导条电流，推导其产生的径向电磁力的解析公式，并由此计算异步电机径向电磁力，估算其产生的振动。［结果］通过实验验证，发现计算得到的电机振动加速度频率及幅值与实验结果吻合。［结论］所得结论和计算方法可为变频器供电异步电机的低噪声设计提供支持。

异步电机；多回路；磁动势；径向电磁力

0 引 言

异步电机以其结构简单、可靠性高、成本低等优点，被大规模应用于动力机构中，由此也带来了噪声问题。异步电机的振动噪声分为机械噪声、电磁噪声和空气动力噪声。其中，径向电磁力产生的电磁噪声一直是人们关注的重点。异步电机的径向电磁力由定转子磁场谐波产生，成分复杂。随着变频器调速在异步电机领域使用的增多，由变频器引入的电流谐波使得异步电机的电磁振动噪声源更复杂。

为了研究异步电机径向电磁力产生的电磁振动噪声，一些学者通过解析法与模态实验相结合的方法对常规异步电机的电磁振动问题进行了研究［1-4］。这些研究均着眼于正弦波供电下的电磁力研究，而对变频器供电下的振动则语焉不详。变频器下电流谐波分量增多，电磁力中包含的谐波分量也增多，甚至可能存在阶次频率均相同的分量，使用解析法对每个谐波分量的幅值进行计算已不现实。随着有限元计算技术的发展，一些学者开始利用有限元方法研究工频及变频器供电条件下异步电机的径向电磁力波问题［5-8］。但是，该类方法无法直接揭示径向电磁力与电机电磁参数的关系，也无法分辨电磁力谐波的来源。

为了更全面地分析任意电压波形供电时的径向电磁力，需要获得定子绕组及转子导条电流。因此，可采用多回路理论计算异步电机定子绕组及转子导条电流。文献［9］给出了互感参数的线性表达式，该表达式形式简洁、利于实现，而且可以穷尽所有谐波分量，不存在截断误差。但是该解析公式仅针对整距、q=1（q为每极每相槽数）的情况；这种情况下的磁动势波形规则，计算简单，因此可以直接得到解析公式。当电机中存在非整距或q≠1的情况时，情况要复杂得多，因此推导一般性的公式很有必要。

本文拟推导一般情况下的异步电机多回路仿真模型公式，利用MATLAB对电机进行仿真，获得定转子绕组内的实时电流，并由此计算气隙磁场的实时分布，应用麦克斯韦应力法计算得到各径向电磁力谐波的阶次及幅值。

1 多回路模型

首先，采用多回路理论计算定子绕组及转子导条实际电流波形。如果将感应电机定子每一相绕组视为一个回路，而转子每两根导条及端环作为一个元件而形成一个大电路，可以建立多回路分析仿真模型。为便于计算，假设不计铁磁材料饱和、磁滞、涡流影响和导电材料趋肤效应的影响。

1.1 定子电压方程

根据电路理论，对于M相异步电机，可以列出定子电压方程：

式中：Us=[us1us2…usM]T，为定子电压；Rs=rsEM×M，为定子阻抗矩阵，其中rs为定子相电阻，EM×M为M×M维的单元矩阵；Is=[is1is2…isM]T，为定子电流；ψs=[ψs1ψs2… ψsM]T，为定子磁链。

1.2 转子电压方程

对于导条数为N的鼠笼转子，可以视为N条回路。每个导条电阻为rb，两导条间的端环电阻为re，如图1所示。根据电路图，可以得到下面的方程：

式中：Ir=[ir1ir2…irN]T，为转子各导条电流；ψr=[ψr1ψr2… ψrN]T，为转子磁链；Rr为转子电阻矩阵，

图1 转子回路示意图Fig.1 Rotor circuit

1.3 磁链方程

定转子磁链方程为

式中：Lss为定子绕组互感矩阵；Lsr为定转子回路之间的互感矩阵；Lrr为转子导条之间的互感矩阵。则状态方程可以改写为

式中：θ为转子旋转的电角度；ωr为转子旋转的电角速度。

1.4 转矩方程

根据电机理论，可得电机电磁转矩Te为

式中，p为电机极对数。

忽略摩擦阻尼转矩，电机的转子运动方程为

式中：J为电机的转动惯量；TL为负载转矩。

2 电感计算

第1节给出了基于多回路理论的M相感应电机分析模型。其中，电阻矩阵可以通过实测或计算值给定，且假设在电机运行过程中不发生变化。需要计算各互感参数及其对电角度的导数。

2.1 定子绕组的自感及互感矩阵

假设定子绕组1个线圈所产生的磁动势分布如图2所示。假设任意2个线圈Q1和Q2之间的电角度差为Δθs，则互感为

式中：ψ为2个线圈的磁链；y为线圈节距；τ为极距；F(θs)为线圈Q1产生的磁动势；μ0为真空磁导率；gef为气隙的有效长度；D2为定子内径；lef为铁芯有效长度。

图2 某一个槽线圈磁动势示意图Fig.2 Magnetomotive force of a slot coil

对于实际电机，F(θs)数值固定，Δθs与各线圈位置相关且不随时间变化，因此积分结果为有限个固定的离散值。这些离散值可以编程计算形成表格，采用查表的方法进行计算。任意两相线圈sm1和sm2之间的互感为

考虑到定子绕组的漏感，当sm1=sm2时，需加上漏感值。

2.2 转子导条回路之间的互感矩阵

转子某一导条回路产生的气隙磁动势分布如图3所示，其中圆圈代表导条截面。设2个导条间的电角度为Δθr，图3给出了2个导条回路之间的互感与电角度Δθr之间的关系。由于Δθr是离散的，因此对应的任意2个导条之间的互感也是离散的。

图3 转子磁动势示意图Fig.3 Magnetomotive force of rotor

考虑转子导条回路之间的漏感，可以得到第rn1根导条回路与第rn2根导条回路之间的互感为

式中，F(θr)为一个导条回路产生的磁动势。

式（10）相对简单，积分后可得

式中：Le为端部产生的漏感；Lb为由导条产生的漏感；

2.3 定转子之间的互感

假设定子某一相绕组产生的气隙磁动势分布如图4所示，黑圈代表转子某一回路导条截面，与该定子绕组之间的电角度差为Δθsr：

式中，Δθsr(0)为初始电角度差。当Δθsr在周期内变化时，定转子之间的互感为

图4 定转子互感示意图Fig.4 Stator rotor mutual inductance

Lsrmax的计算式为

式中，ns为定子绕组每相串联支路数。

2.4 定转子互感对电角度的导数

根据定转子之间的互感关系，可以给出互感参数对电角度的导数关系：

计算各互感参数及其对电角度的导数后，即可构建变频器电机的仿真模型，进而获得电机定转子所有回路电流随时间变化的波形，得到电机电磁力沿气隙圆周的分布情况。

3 径向电磁力计算

3.1 变频器磁动势计算

多相电机通常由变频器供电。由于变频器中使用开关器件，输出电压包含大量谐波。传统的解析法仅能解决基波供电下的电磁力，而对谐波电流产生的电磁力则选择忽略不计。为计算谐波电流产生的电磁力，我们采用仿真计算获得电机电流波形，根据其空间位置获得电机磁通密度波形，进而获得电机在变频器下的电磁力。采用该方法时不再计算各次谐波的幅值，而是以各相线圈所产生的磁动势直接相加来获得气隙磁动势。

变频器供电时，第sm相绕组产生的基波磁动势表达式为

式中：Na为每相绕组串联支路数；kw1为定子绕组基波绕组系数；ism(t)为第sm相绕组电流的实时大小；α为气隙圆周空间角度；ϕ(sm)为第sm相绕组中心线空间位置。与正弦波供电时类似，第v次谐波磁动势波形为

式中，kwv为定子绕组第v次谐波绕组系数。则定子绕组合成磁动势为

式中，k=1，2，3……

转子磁动势也采用类似的方法表示，第rn根导条电流产生的基波磁动势表达式为

式中：N2=1；kw2为导条回路的绕相系数；irn(t)为第rn个转子回路的实时电流；ϕrn(t)为第rn个转子回路所在的空间位置。与正弦波供电时类似，第u次谐波磁动势波形为

则转子绕组合成磁动势为

合成气隙磁动势为

3.2 气隙磁导计算

感应电机物理气隙的相对磁导因为卡特系数而增加。因为开槽引起趋肤效应，齿所对应的气隙磁场比没有开槽时大。根据文献［10］，只考虑定子开槽时，其气隙磁导为

式中：Λ0为气隙磁导不变的部分；Λ1k为转子光滑时定子第k阶齿谐波磁导的幅值；Z1为定子的槽数。

类似地，若定子内表面光滑，转子有齿槽，且转子相对于定子以转速Ω2旋转，则气隙磁导的主要成分可表示为

式中：Ω2为转子机械角速度；Λ2k为定子光滑时定子第k阶齿谐波磁导的幅值。

合成气隙磁导为

气隙磁通密度 b(α，t)与磁动势 f(α，t)之间的关系为

基于Maxwell应力张量法，气隙中任意一点的单位面积上的径向电磁力为

3.3 电磁力的二维傅里叶分析

通过分析获得电机电磁力的分布后，得到包含时间及空间分量的二维数组。传统的傅里叶分析只能取某一时刻电磁力的空间分布进行空间分析，或者取某一空间位置处电磁力的时间分布进行频率分析。而同阶次电磁力可能含不同频率的谐波；同样，相同频率的电磁力可能包含不同阶次的分量。这些谐波与分量对电机振动的影响并不相同。所以，需要同时对电磁力的时间及空间分布进行傅里叶分析。

使用Matlab软件可以实现离散数据的快速二维傅里叶分解，获得各阶次电激振力的频谱，即

式中：prk(t)为阶次为k的电磁力随时间变化的幅值；prkf为阶次为k、频率为f的电磁力的幅值。

4 实例计算

对一台三相200 kW电机在变频器下的工况进行仿真，分析获得径向电磁力，并与振动测试实验结果进行了对比。电机主要参数如表1所示。

表1 电机主要参数Table 1 Main parameters of motor

4.1 三相电机正弦供电仿真结果

通过仿真，得到定转子电流波形如图5所示。根据图5可以得到，电机定子电流幅值、转子转速等数值与理论相一致，证明多回路模型适用于该电机，并具有较高的精度。

电磁力计算中合成磁动势波形如图6所示。由图6可见，定转子磁动势波形均为典型阶梯波，而合成气隙磁动势波形则谐波含量更为丰富。

考虑定转子气隙磁导后，得到的气隙磁场波形如图7所示。由图7可见，气隙磁通密度波形中谐波含量大大增加。

图5 定子电流波形Fig.5 Stator current waveform

图6 合成气隙磁动势波形Fig.6 Magnetomotive force waveform of the air gap

图7 气隙磁通密度波形Fig.7 The waveform of air gap flux density

根据径向电磁力的计算公式进行电磁力计算，并作二维傅里叶分解，其结果如图8所示。由图8可得主要径向电磁力谐波阶次及频率。其中0阶0 Hz及-6阶51.2 Hz径向电磁力谐波幅值最高。0阶0 Hz谐波分量为恒力，不引起振动。根据电机振动理论，定子铁芯振动幅值与电磁力阶次的4次方成反比，电磁力阶次越低，产生振动的幅值越高。-6阶51.2 Hz谐波分量虽然幅值高，阶次也较高，但所产生的电磁振动幅值并不高。根据图8，本电机中存在-2阶及2阶等低阶电磁力，需要重点关注。

图8 径向电磁力阶次及频率Fig.8 Order and frequency of radial electromagnetic force

单独提取-2阶及2阶电磁力频谱如图9所示。由图9可见，该电机存在频率为433 Hz及535 Hz的2阶/-2阶电磁力，可能产生幅值较高的振动。

图9 2阶/-2阶径向电磁力Fig.9 Order 2/-2 radial electromagnetic force

4.2 实验验证

为验证理论分析的结果，搭建了如图10所示的实验平台。平台中采用无明显激振频率的磁粉制动器作为异步电机的负载，通过调节磁粉制动器的励磁电流以调节负载大小。

图10 实验现场Fig.10 Test site

实验测得电机振动加速度频谱如图11所示。

图11 额定负载时电机底脚振动加速度频谱Fig.11 The vibration acceleration spectrum of motor bottom with full load

电磁力计算结果与实验结果如表2所示。根据表2可知，电磁力频率结果吻合得很好。但计算得到的振动加速度幅值与实验结果有一定误差，可能是结构响应计算不够精确。

表2 电磁力计算与实验结果对比Table 2 Comparison of calculated and experimental results of electromagnetic force

传统方法通常建立如下表格（表3，“/”左边为阶次，右边为频率）来计算电磁力的阶次及频率。定子磁动势包含-51次、-33次、-15次等谐波，转子磁动势包含-55次、3次、61次等谐波。定转子谐波两两作用后，生成电磁力。例如，定子磁动势-51次谐波与转子磁动势-55次谐波相作用，产生了4阶483 Hz的径向电磁力；定子磁动势57次谐波与转子磁动势-55次谐波相作用，产生了2阶432 Hz的径向电磁力。

表3 传统方法计算的电磁力阶次及频率Table 3 The calculated electromagnetic force order and frequency with traditional methods

表3中存在2阶 432 Hz电磁力，但没有2阶534 Hz电磁力。其原因是采用传统方法计算电磁力谐波时，只考虑了定转子磁动势谐波的影响，而忽略了这些谐波与气隙磁导谐波相互作用的情况。对于该电机，定子1次磁导齿谐波与转子1次磁导齿谐波可生成14次/483 Hz谐波，与表3中的-12阶/51.2 Hz谐波产生2阶534 Hz电磁力，与实验结果相吻合。因此，采用本文方法计算的结果谐波更全面。

5 结 语

本文提出的异步电机径向电磁力计算方法可以准确获得电机电磁力频率及幅值，与传统计算方法相比，可以通过定转子实际谐波电流，尽可能多地计算不同阶次及频率谐波幅值。计算结果与实验结果吻合较好，可以用于变频器下多相电机谐波电磁力及其产生的电磁振动的频率及幅值计算。

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［10］陈世坤.电机设计［M］.北京：机械工业出版社，2004.

Radial electromagnetic force calculation of induction motor based on multi-loop theory

HE Haibo，LIU Hailong
Wuhan Institute of Marine Electric Propulsion，Wuhan 430064，China

［Objectives］In order to study the vibration and noise of induction motors，a method of radial electromagnetic force calculation is established on the basis of the multi-loop model.［Methods］Based on the method of calculating air-gap magneto motive force according to stator and rotor fundamental wave current，the analytic formulas are deduced for calculating the air-gap magneto motive force and radial electromagnetic force generated in accordance with any stator winding and rotor conducting bar current.The multi-loop theory and calculation method for the electromagnetic parameters of a motor are introduced，and a dynamic simulation model of an induction motor built to achieve the current of the stator winding and rotor conducting bars，and obtain the calculation formula of radial electromagnetic force.The radial electromagnetic force and vibration are then estimated.［Results］The experimental results indicate that the vibration acceleration frequency and amplitude of the motor are consistent with the experimental results.［Conclusions］The results and calculation method can support the low noise design of converters.

induction motor；multi-loop；magneto motive force；radial electromagnetic force

U665.11

A

10.3969/j.issn.1673-3185.2017.06.019

http://kns.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20171128.1106.018.html期刊网址：www.ship-research.com

何海波，刘海龙.基于多回路理论的异步电机径向电磁力计算［J］.中国舰船研究，2017，12（6）：127-133.

HE H B，LIU H L.Radial electromagnetic force calculation of induction motor based on multi-loop theory［J］.Chinese Journal of Ship Research，2017，12（6）：127-133.

2017-03-31 < class="emphasis_bold"> 网络出版时间：

时间：2017-11-28 11:06

何海波（通信作者），男，1986年生，硕士，工程师。研究方向：低噪声电机设计。

E-mail：hhbhhy@126.com

刘海龙，男，1981年生，硕士，工程师。研究方向：低噪声电机设计