基于APOS理论下的数学概念教学策略探析

从建华

摘 要：概念教学是学习数学知识的第一步。就像认识一个人，首先得知道这个人的基本情况，例如他叫什么、從何而来等，这样在日后的生活中，你才能作出关于此人的判断。而对于数学知识的学习也一样。因此，在数学教学中，数学概念的教学是最基本也是最重要的部分。只有真正掌握了相关概念，才能深入数学学习。本文基于APOS理论对中学数学概念教学作相关策略的分析与探讨，发现通过APOS理论的活动（Action）、过程（Process）、对象（Object）、模型（Scheme）四个阶段的运用，有效的提升了数学概念教学的效率。

关键词：APOS理论；数学概念教学；教学策略

一、 前言

教师在教学过程中的主要职能是通过科学的教育方法引导教育学生积极学习。对数学教师来说，运用科学的教育方法引导学生对数学概念进行学习运用具有重要意义。数学概念是数学教学的基础阶段，是数学教学整个过程的基石。数学教学中，做好概念教学工作有助于学生对概念的理解，提高后续学习复杂化课程的效率。目前，教学过程中，往往对数学概念进行呆板的背诵记忆或对概念进行简单的阐述，并不能使学生知其所以然，看似提高了课程进度，但实则为后续课程的学习造成不必要的麻烦。而APOS学习理论是针对数学学科教学提出的科学理论，由美国教育家杜宾斯在20世纪80年代提出。该理论的建构过程依次为四个阶段：操作或活动阶段（Action）、过程阶段（Process）、对象阶段（Object）、模型阶段（Scheme），APOS为四个阶段的英文首字母。活动阶段（Process），学生对数学概念具有初步的直观印象，对概念的形成和背景有了初步的学习理解。过程阶段（Process），是学生对活动阶段的加深思考过程，这一阶段的心理活动表现为反复思考和理解加深，是一个知识内化的过程。概念在学生的头脑中经过二次描述，形成学生头脑中的概念性质，形成学生头脑中的反复刻画对象，即到达心理活动的对象阶段（Obiect）。随着学习程度的加深，在学生头脑中，经过对概念的反复思考，抽象出概念的心理模型图像，即达到了第四个阶段模型阶段（Scheme）。本文以APOS四阶段为线索，探讨中学数学概念教学的可行性策略，以提高教师的教学效率。

二、 APOS理论分析

运用APOS理论进行中学数学概念教学，需要充分考虑到中学数学的教学实况，针对具体的教学情况作出科学的理论分析和运用。使理论与实际相结合，达到提高教学效率的目的。

1. APOS理论第一阶段为活动A阶段，此阶段是学生概念学习的起点。

学生在这一阶段对于概念的学习是广义的初步的认识。学生在此过程中，运用自己的感官去观察、联想，概括出最初的感性素材，使过程P阶段得到实现。

这里以二面角概念的学习为例，以现实中随处可见的门为观察对象，以门与墙的交界处为主轴，观察门的移动与墙的位置变化活动。这一阶段即为活动A阶段，我们通过观察门与墙之间的角度变化，得到感官性的头脑印象。

2. 关键性阶段“过程P”

在活动A阶段，学生通过观察获得了感官性的印象，在后续的过程P阶段，人的头脑对所观察到的印象进行分析和思考，提炼有效信息，形成概念学习的二次深刻印象。这一阶段是概念学习的关键阶段，从活动A到过程P阶段，几乎无法明确划分，因为大脑神经中枢的活动速度之快，这两个阶段几乎同时发生，虽然没有明确的分界，但若缺失了过程P阶段，将会严重影响概念学习的效果，即并没有对感官现象有所构建，相当于徒劳。例如，在观察门的开合现象时，若学生可以利用道具模拟二面角的几何模型，感受模型变化的同时，找出如何刻画三维空间的角度变化的方法。这就是过程P的意义。

3. 对象O是活动A、过程P的反复结果，同时也是模型S的起点。

在初步的学习过程中，学生了解掌握了最初的概念对象，但这并不是真正的对象O，真正的对象O是活动A和过程P在学生学习过程中，通过多次的重复前两个过程作用的结果。这一阶段的学习，可以运用多次练习的形式，来反复的进行操作A的训练，以相似原理的不同对象为训练内容，使概念的本质得到洞悉，使所运用的原理在学生的头脑中得到抽象化后的结晶，从而达到最后一阶段模型S阶段。例如：在数列的学习中，最初对于数列的概念学习先经过活动A的反应，大脑对相关概念进行初步的理解，同时通过教师举例教学，在过程P阶段加深对数列的基本概念的理解和反复思考，最终达到模型S阶段。大脑对数列的概念和类型有了具体的理解和分类。

4. 模型S阶段是最初感官性现象在头脑中由抽象到一般的综合心理图示阶段。

单次的A-P-O-S是达不到形成模型S的目的。它是APOS阶段反复作用的结果。例如关于函数的概念，它出现在初中到大学的学习阶段中。学生需要反复长期的重复性学习。

综合上述内容可以得出结论：通过活动A阶段的观察活动以及过程P阶段对观察对象的内容思考和内部消化吸收，到达对象O的阶段，经过反复的观察和思考，抽象出本质的特征，从而得到模型，这就是APOS的运作过程。APOS理论使学生的学习建构得到科学的理论依据，并且使建构层次的可行性得到实施。

三、 APOS理论对中学数学概念教学的借鉴意义

APOS理论反应出数学概念学习从具体活动到抽象的综合心理图形的过程。在中学数学概念的教学中，教师可根据APOS的层次性，进行引导教学。据此，我们提出几点建议：

1. 在活动A阶段，以感官性的观察现象为起点，那么感性材料的选择要注意选取适度、典型、有效的观察对象。例如在二面角学习过程中，选取门与墙作为观察对象，这样的对象生活中随处可见，易于接近，且对于二面角的形象具有典型的实物代表性。学生对于所选取对象的观察和特征的提炼不会有太大难度，学生参与活动观察的意愿也增强，不会给学生造成学习压力。endprint

2. 过程P阶段，连续设置问题引导思维深入

在活动A阶段，感官现象只是学习的思维库，是海量信息的汪洋，并没有产生数学学习的思考。但在过程P阶段，教师可以用具有启发作用的问题，层层递进的深入引导学生对于活动A的学习思考。例如：教师可以运用引导性的提问“你刚刚观察到了什么现象？”“你觉得它们有哪些共同点？”“你可以归纳出什么？”“你是如何得到这些结论的？”。在集合的概念教学中，首先，以现实生活中的现象为例，将学生分成两组。第一组与第二组学生不重叠，每一组的学生人数确定，每个人名字不同，随意排列。这就是现实生活中的集合——两组学生组成的集合。为什么呢？集合具有互异性、无序性、确定性的特点。每一组的学生是确定的，每个学生都不一样，并且没有具体的组合序列。这样的互动教学，培养了学生在学习中的问题意识的同时，也活跃了课堂的学习氛围，使教师有效掌控课堂的学习进程。学生在学习中的概括过程中，有时会遇到难题，此时需要教师针对问题做有效的指导，让学生在层次递进的引导中，打破自我学习瓶颈，切忌不结合实际的普遍性教导。

3. 模型S階段，丰富的活动内容，完善概念学习

对象O阶段，学生对概念有了初步理解，但还不能概括出问题的实质，因此，这一阶段就需要多次的不同程度的活动A和过程P的运用，使学生的认知从初步的对象O，进入归纳出实质心理图形的模型S阶段。

这一阶段的教学，可以采用传统的多题型训练方式，运用从易到难的典型题型，训练学生的思维成像，最终将概念学习得到层层深入，得到稳固、综合的心理图形，最终达到模型S阶段，为下一阶段的数学教学作准备。例如在集合的学习中，通过基本的集合相关的题目练习，再逐渐增加题型难度，层层递进的加深集合的概念学习。

四、 总结

在中学数学概念教学过程中，以APOS理论为科学依据，按照其建构的四个心理活动层次。把活动阶段（Action）、过程阶段（Process）、对象阶段（Obiect）、模型阶段（Scheme）这四个渐进的层次阶段设置为概念教学的一个整体环节。以活动A为导入点，引导学生对感官现象作出过程思考，教师通过多次的引导教学，使学生经历概念形成的各个阶段，通过不同阶段的思考，学生的理解面在不同层次中递进、升华，最终到达模型S的阶段，完成了数学概念的有效学习。在APOS理论的指导下，教师的教学成效也得到大幅提高。

参考文献：

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[2]申海滨.基于APOS理论下的中职数学概念教学策略探析[J].数学学习与研究，2014（3）.

[3]贾兵；陆学政.“APOS理论”指导下的高中数学概念教学[J].中学数学教学，2012（12）.endprint