小波去噪方法的研究

李杨

【摘 要】小波去噪是小波变换应用的常见用途，本文介绍了三种常用的小波去噪方式，分别是小波模极大值法、小波分解与重构法和小波阈值法。将这几种方式分别加入白噪声并实施去噪处理，通过对比优缺点，为小波去噪方法的选取提供了参考依据。

【关键词】去噪；模极大值；小波分析

0 引言

在数学领域中小波分析发展迅速，它是一种时频分析的办法，小波分析具有多分辨率分析的特征，它能够对信号中任意一些细节做多分辨率的时频域分析，享有“数学显微镜”的美誉，它还有一个双重意义在于不光拥有深刻的理论还拥用广泛的应用。

1 小波去噪几种方法的基本原理

1.1 小波模的极大值法去噪

信号局部突变点的特征量度指数是Lip，它的定义：设有正整数n，n≤a≤n+1，如果存在正整数A>0及n次多项式Pn（x），使得|f（x）-pn（x-x0）|≤A|x-x0|a对x∈（x0-δ，x0+δ）成立，则称f（x）在x0点是Lipα。

在尺度s下的局部模的极大值点x0的定义是，若？坌x∈δx0，有|Wf（s，x）|≤|Wf（s，x0）|。f（x）的Lip指数与小波變动模极大值条件是log2|W2jf（t）|≤log2k+jα。对于常见的信号，由于α≥0，j的值越大小波模极大值也就越大；而对于白噪声，由于α<0，j的值越大模极大值反而越小。所以，要观察各个尺度间小波模的极大值改变的有关规律，从而除去幅值随尺度变大而有效的点，保留下幅度随尺度变大而增加的点，最后再由保留的模极大值点使用交替投影的方法来重新构建，即可达到去噪的目的。

1.2 小波阈值法

小波变换阈值的方法称为“小波收缩”，这种方法是基于白噪声的小波系数的特点，大部分能量集中于较低幅度的小波系数，在任何正交基上变换，白噪声不会发生本质的变化，依然是白噪声，并具有相同的振幅。小波系数将大于噪声信号的小波系数和相对分散的能量比较小，所以我们可以设计一个阈值，小于阈值的小波系数为零，从而有效地抑制信号中的噪声。

1.3 小波分解与重构法

小波分解与重构的快速算法即Mallat算法，这是在1988年由S.Mallat在构造正交小波基的时候，第一次提出了多分辨分析的理论观点，小波的多分辨频率的特征从空间的理念上得到了解释。

若信号f（t）的分散的采样数据为fk，fk=c0，a，则信号f（t）小波的分解公式为：（k=0，1，2，…N-1）其中，cj，k为尺度系数；dj，k为小波系数；h、g为正交镜像滤波器组；j为分解层；N为离散采样点数。

小波分解的逆算法就是小波的重构，小波重构的公式为：

2 几种算法的比较

2.1 模极大值法去噪

小波模极大值的去噪方法根据他的主信号和变化在各个尺度上的小波系数滤波器滤除噪声，它是相对稳定的，不需要知道噪声方差，具有比较小的噪声依赖性，更适合于低信噪比信号滤波去噪。

模极大值的去噪方法比较适合处理信号中有白噪声而且奇异点比较多的情况。同时，该方法保留了信号奇异性的有效信息，并没有多余的振动信号。但由于模极大值重构是交替投影法，为了保证重构信号的精度和高信噪比，通常情况下要进行十几次甚至几十次迭代，所以与其他两种方法相比要慢得多。小波分解尺度的选择在应用模极大值法去噪的时候比较重要，小的尺度小波系数受噪声影响，会生出许多假峰，大尺度下将会使一些重要的部分奇异性信号损耗，所以这种方法比较实用于低信噪比信号。

2.2 小波阈值法去噪

阈值法去噪的长处是基本完全可以消除噪声，能体现峰点的最初信号特性。这种方式具有普遍的适用性，而且阈值法的效率十分快。

小波阈值法去噪是一种常用的小波去噪方法。阈值法用于去噪时，对去噪效果有着至关重要影响的是阈值的选取。在现实应用中，应该根据实际的情况选择比较符合的阈值。

2.3 小波分解与重构法去噪

在有效信号与噪声频带相互分离的确定性噪声的时候，小波的分解与重构法去噪是应用最多的，绝大部分的噪声都可以被消除。但当有用信号的频带与噪声重叠、混淆时，效果就会不太理想。由于小波滤波器不完美的截止特征，且每一尺度的每一点采样不契合采样定律，频率混叠的现象就会出现。总的来说，这种方法简单，运算效率高，但其可用的领域不是很广，对于确定的噪声频率并且频带的信号和噪声的分开时更有效。白噪声在实际运用中存在比较广泛，用小波分解与重构法去噪的效果相对较差。

3 结论

由以上所说的小波去噪方法之间的对比，得出在选择小波去噪方法时的一些参考依据。对高斯白噪使用时，最好选择阈值法或模极大值法。阈值法的特点在于可以获得最初信号的近似最优估量，并且适应性普遍以及计算迅速。因此，在去噪的优点，正常情况下，可以使用这个方法，但由于其计算效率太低，运用在现实中应当考虑噪声的去噪的效果和计算速度间的平衡。而当处理信号和噪声频带分离的去噪，运用小波分解和重构的方式最为适合。如果想达到更好的去噪结果，可以选择几种方式联合使用。

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