重视课本习题 积累解题经验

冯静

不知道同学们有没有注意到：苏科版教科书《数学》九年级下册第57页的例1，“如图1，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE∥BC.试说明△ADE与△ABC相似的理由.”

例1是这一章的基础，通过对例1的学习，我们得到了一个重要的结论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.这为我们推证相似三角形的判定定理奠定了基础，也是我们今后寻找相似三角形的基本图形之一.

教科书在第65页习题6.4中还安排了第3题：如图2，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，EF∥BC，交AD于点G.（1）图中有几对相似三角形？是哪几对？（2）[EGBD]与[FGCD]相等吗？

解：（1）由上面的例1所得的结论可得：

△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC；

（2）由△AEG∽△ABD，得[EGBD]=[AGAD]；

由△AGF∽△ADC，得[FGCD]=[AGAD]；

所以[EGBD]=[FGCD].

【点评】本题的第（1）问直接由例1所得，而第（2）问则又为我们提供了一个基本结论，在后续的学习中如能发现这样的类似图形可尝试运用.

应用1：如图2，在△ABC中，AD为△ABC的边BC上的中线，E、F分别是AB、AC上的点，且EF∥BC，AD与EF相交于点G，求证：EG=FG.

证明：因为EF∥BC，所以△AEG∽△ABD，△AFG∽△ACD，

由△AEG∽△ABD，得[EGBD]=[AGAD]，

由△AGF∽△ADC，得[FGCD]=[AGAD]，

所以[EGBD]=[FGCD].

因为AD为△ABC的边BC上的中线，所以BD=CD，所以EG=FG.

应用2（2004·济宁）：在一次数学活动课上，一位同学提出：“谁能帮我用一副没有刻度的三角板找出线段AB的中点？”小华说：“我能做到.我的做法是，用这副三角板任作一条直线MN∥AB；在直线AB、MN的同一侧任取一点P，连接PA、PB，分别交直线MN于C、D；再连接AD、BC，相交于点E；画射线PE交线段AB于点O，如图3，点O就是线段AB的中点.”你认为点O是线段AB的中点吗？并说明理由.

解：点O是线段AB中点.

因为MN∥AB，所以△PFD∽△POB，△PCD

∽△PAB，

由△PFD∽△POB，得[FDOB]=[PDPB]，

由△PCD∽△PAB，得[CDAB]=[PDPB]，

所以[FDOB]=[CDAB].

因为MN∥AB，所以△ECD∽△EBA，△EFD

∽△EOA，

由△ECD∽△EBA，得[CDAB]=[EDAE]，

由△EFD∽△EOA，得[EFOE]=[EDAE]，

所以[CDAB]=[EFOE].

所以[FDOB]=[EFOE].

由△EFD∽△EOA，得[FDOA]=[EFOE]，

所以[FDOB]=[FDOA].所以OB=AO.

【点评】本题貌似复杂，但实质上还是反复在用教科书第54页例1得到的结论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似.

应用3（2015·镇江）：某兴趣小组开展课外活动.如图4，A，B两地相距12米，小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他（CD）在某一燈光下的影长为AD，继续按原速行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子仍落在其身后，并测得这个影长为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H，此时他（GH）在同一灯光下的影长为BH（点C，E，G在一条直线上）.

（1）请在图中画出光源O点的位置，并画出他位于点F时在这个灯光下的影长FM（不写画法）；

（2）求小明原来的速度.

解：（1）如图5.

（2）设小明原来的速度为xm/s，

则AD=CE=DF=2x（m），

AM=AF-MF=（4x-1.2）m，

EG=FH=2×1.5x=3x（m），

BM=AB-AM=12-（4x-1.2）=（13.2-4x）m.

因为点C，E，G在一条直线上，CG∥AB，

所以△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，

由△OCE∽△OAM，得[CEAM]=[OEOM]，

由△OEG∽△OMB，得[EGBM]=[OEOM]，

所以[CEAM]=[EGBM]，

即[2x4x-1.2]=[3x13.2-4x]，

解得x=1.5，经检验x=1.5为方程的解，所以小明原来的速度为1.5m/s.

答：小明原来的速度为1.5m/s.

【点评】第（1）问利用中心投影的定义画图；第（2）问从实际问题中抽象出几何图形后，立即联想到教科书在第65页习题6.4的第3题，得出[CEAM]=[EGBM]，然后通过解方程计算相应线段的长.

（作者单位：江苏省东台市实验中学）endprint