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细说中考高频题

2017-12-11戴晓燕樊翠霞

初中生世界·八年级 2017年11期
关键词:逆定理中考题直角

戴晓燕+樊翠霞

勾股定理及其逆定理在近几年的中考中是热点问题,以下就以2017年部分中考题为例,希望为大家带来一些思考和借鉴.

一、弦图的应用

例1 (2017·长春)图 1是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的,人们称它为“赵爽弦图”.此图案的示意图如图 2,其中四边形 ABCD 和四边形 EFGH 都是正方形,△ABF,△BCG,△CDH,△DAE 是四个全等的直角三角形,若 EF=2,DE=8,则AB 的长为 .

【解】AF=DE=8,EF=2,AE=6,由勾股定理求得AD=10,故AB=AD=10.

例2 (2017·石家庄一模)图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图,它是由四个全等的直角三角形围成的,若 AC=6,BC=5,将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍,得到图乙所示的“数学风车”,则这个风车的外围周长是 ( ).

A. 52 B. 42 C. 76 D. 72

【解】如图3,由AC=6,得DC=12,在直角△DBC中,由BC=5,DC=12得BD=13,所以BD+AD=19,故周长为19×4=76.

【评析】教材中应用“赵爽弦图”证明勾股定理,“赵爽弦图”是初中数学的重要基本图形之一,近年来在全国各地的中考题里常有出现.

二、折叠问题

例3 (2017·武威)如图4,一张三角形纸片 ABC,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm.现将纸片折叠:使点 A 与点 B 重合,那么折痕长等于 cm.

【解】如图5,作AB的垂直平分线,分别交AB、AC于D、E,在Rt△BEC中,由勾股定理得(8-BE)2

+62=BE2,解得BE=[254],进一步算得DE=[154].

例4 (2017·嘉兴)一张矩形纸片 ABCD,已知 AB=3,AD=2,小明按下图步骤折叠纸片,则线段 DG 长为( ).

【解】由翻折得到△A′DE,△B′GE是等腰直角三角形,DE=[22],GE=[2],故DG=[2].

【評析】统观近年各省市的中考试题,不难发现“折叠”问题在中考试题里频频出现,而利用勾股定理建立方程是解决问题的重要方法.命题者通常以直角三角形为载体,以数形结合、方程思想等重要的数学思想为依托,实现了对“四基四能”的全面考查.

三、逆定理的应用

例5 (2017·益阳)如图6,△ABC 中,AC=5,BC=12,AB=13,CD 是 AB 边上的中线,则 CD=

【解】由AC=5,BC=12,AB=13知△ABC是直角三角形,故CD=6.5.

例6 (2017·南京)“直角”在初中几何学习中无处不在.如图7,已知 ∠AOB.请仿照小丽的方式,再用两种不同的方法判断 ∠AOB 是否为直角(仅限用直尺和圆规).

小丽的方法:如图8,在 OA、OB 上分别取点 C,D,以 C 为圆心,CD 长为半径画弧,交 OB 的反向延长线于点 E.若 OE=OD,则 ∠AOB=90°.

【解】方法 1:如图9,在 OA、OB 上分别截取OC=4,OD=3.若 CD=5,则 ∠AOB=90°.方法 2:如图10,在 OA,OB 上分别取点 C,D,以 CD 为直径画圆.若点 O 在圆上,则 ∠AOB=90°.

【评析】勾股定理的逆定理主要是由数量关系确定三角形是否为直角三角形,然后在直角三角形的背景下解决有关问题.勾股定理的逆定理体现了由数到形的重要数学思想,在近年来各地的中考题中常有出现,但往往考查定理本身,故难度不是太大.

四、旋转问题

例7 (2013·包头)如图11,点E是正方形ABCD内的一点,连接AE、BE、CE,将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则∠BE′C= 度.

【解】本题采用分割的方式,如图12,通过连接EE′将∠BE′C转化为∠BE′E与∠EE′C的和.首先根据旋转的性质得∠EBE′=90°,BE=BE′=2,AE=E′C=1,那么,在Rt△EBE′中,由等腰直角三角形,可得∠BE′E=45°,由勾股定理可得EE′=2[2].此时△EE′C的三边长都已知了,且E′E2+E′C2=8+1=9,EC2=9,即E′E2+E′C2=EC2,又由勾股定理的逆定理知△EE′C是直角三角形,所以可得∠EE′C=90°.故∠BE′C=135°.

【评析】根据已知得出△EE′B是等腰直角三角形比较容易,但想到利用勾股定理的逆定理找出△EE′C是直角三角形才是解题关键.勾股定理常用,同学们也比较容易想到,而勾股定理的逆定理,也是将边的关系转化为角的关系的常用方法,同学们可要用心哦!

(作者单位:江苏省常州市金坛区茅麓中学,常州市金坛区西岗中学)endprint

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