三管齐下“平均数”

张永艳

《平均数》一节是人教版小学数学第六册第三单元《统计》的教学内容。看到“平均数”这个词，老师们第一感觉是：“好教，不就是‘平均数=总数÷数量嘛！”可事实却不尽然。笔者今年所带班级在三月份正好学习这部分内容，教学流程不可谓不流畅，基础训练不可谓不扎实，但学生遇到诸如 “一条河平均水深110厘米，小明身高140厘米，他下水游泳有危险吗？”之类的问题仍一筹莫展；求平均速度、平均温度等问题时虽能套上公式计算却不知其所以然的现象时有发生。原因何在？又该如何改进？下面进行详细的探讨。

一、凸显平均数概念的统计学意义

平均数是统计中的一个重要概念，是描述数据集中程度的一个统计量。以前，平均数是作为典型应用题来编排的，新课改后的教材把平均数放在“统计与概率”里进行教学，毋庸置疑，便是对平均数统计价值的定位，也给广大的教师带来了新的挑战。

请看如下教学片断：

出示课本中四名学生收集废旧矿泉水瓶的情境图。

师：谁收集得最多？谁收集得最少？

师：你能让他们数量一样多吗？（体现移多补少的思想）

生：小红给小兰1个，小明给小亮2个。

师：真棒！这样，他们都达到了13个，这个“13”，就叫这几个数的平均数。我们怎样通过计算得到平均数呢？

学生讨论后回答：可以先求总个数52，再除以4。

师：很好！平均数=总数÷数量。

以上教学环节虽然流畅，但把重点放在平均数的含义和求法上，对平均数在统计学上的意义和作用没有涉及。

什么是平均数的统计学意义？平均数的统计学意义就是能刻画、代表一组数据的整体水平。平均数不同于原始数据中的每一个数据（有可能等于某个原始数据），但又与每一个原始数据相关，代表这组数据的平均水平。它既可以描述一组数据本身的总体情况，又因为具有良好的代表性，便于比较又公平，因此也作为不同组数据比较的一个指标。

由此可知，“平均数是表示一组数据集中趋势的量数”。当然这样的概念不能直接对学生说。那么，如何在教学中凸显出平均数的统计意义？

1.准确把握教学目标

《教学用书》指出，平均数的教学目标有三个：①使学生理解平均数的含义；②初步学会简单的求平均数的方法；③理解平均数在统计学上的意义。

从教学目标的三个维度来说，第一、二个目标属知识技能维度，达成度只要看看学生做题情况便一目了然；而第三个“理解平均数在统计学上的意义”，属于过程与方法的层面，这恰恰是广大教师最难把握的，什么是“平均数在统计学上的意义”？采用怎样的情境利于学生感悟？如何利用平均数这一媒介培养学生的统计意识？这些都要课前细细推敲，比较鉴别。

笔者认为本节课教学目标应定位为：重点理解平均数的统计学意义，其次才是求平均数的方法。

2.关注学生认知建构

教材呈现的是四人收集废旧汽水瓶的情境。教师提出问题：“他们组平均每人收集了多少个？”学生经过操作、计算等活动，得出“先求总数52个，再除以人数4，平均每人收集13个”。对于三年级学生来说，这一心理转换过程是缺乏活动经验的支撑的；最后计算的结果平均数“13个”，就是这个小组整体上收集水平的代表，其统计意义对学生而言也是很难直接建立的，学生会疑惑，“用一共捡了52个”不也能代表他们组的水平吗？因此，仅仅“移多补少”，然后把总个数平均分成几份来揭示平均数代表整体的一般水平意义，学生还有难以跨越的思维断点，导致学习效果不佳。

3.系统把握三个统计量

小学阶段统计与概率部分有三个统计量：平均数、众数、中位数。平均数与组中每个数据都有关联，它可能是组中数，也可能不是组中数。平均数受数据的制约，能反映一组数据的全貌，因而具有敏感易变的特点。

而众数着眼于对各数据出现的次数的考察。当一组数据中不少数据多次重复出现时，常用众数来描述这组数据的整体水平。

当一组数据中的个别数据变动较大时，可采用中位数描述其集中趋势。

如果教师能系统把握三者的联系和区别，那么在执教平均数时便会心中有数，游刃有余，教学设计的视野也会更广阔、教学目标更恰当。

二、明确“平均数”与“平均分”的关系

教学片断：

师：想一想，除了移多补少，还可以怎样求他们组平均每人收集了多少个？

学生：思考。

师提示：看看统计图，是不是可以把52个汽水瓶平均分成4份？怎样计算？

生：52÷4=13。

师：其实，求平均数就是把总数平均分。

如果为了引出平均数求法，教师的引导无可厚非，但如果就此打住，不再对“13”所具有的统计意义进行辨析，那么学生便会认为平均数等同于平均分。其实，平均数与平均分既有联系又有区别。

诚然，二者的计算过程相同，且平均数是借助平均分的意义通过计算得到的。但是二者的意义是根本不同的。

从问题解决角度看，“平均分”有两层含义：一是已知总数和份数，求每份数是多少；二是已知总数和每份数，求有这样的多少份，强调的是除法运算的意义，解决的是“单位量”与“单位个数”的问题。而平均数则反映全部数据的整体水平，目的是比较两组数据的整体水平，强化统计学意义。

从问题的答案来看，平均分的得数是一个确定的数，如把12块糖平均分给3个孩子，平均每人分得4块，这个“4块”是每个孩子实际分得的数；而平均数是一个“虚拟”的数，如果说3个孩子一共有12块糖，平均每个孩子有4块，这个“4块”就是平均数，但不一定每个孩子都有4块糖。

教者首先要对平均数与平均分之间的关系与区别心中了然，更要引导学生形成正确无误的认知结构。

三、细腻展示平均数的丰富内涵

由于平均数反映所有数据的集中趋势，因而它对所有数据具有典型代表性的意义，正因这一特性，平均数在现实生活中具有广泛的应用。让学生体验与感受平均数的丰富内涵是学习平均数的真正意义所在。我们教学平均数，往往侧重求平均数方法的多样和灵活，注重算法的优化，而忽视了平均数的实际意义。

1.用好教材，适当补充

教材上有平均身高、平均体重、平均最高气温、月平均销售量、平均速度等素材，比较丰富，与生活联系比较紧密，我们要充分利用好这些情况；同时，还可以补充平均收入、平均用水量、平均成绩、平均水深、平均寿命、脉搏1分钟跳动次数等情境，让学生在不同情境中运用平均数的知识解释生活现象，解决实际问题，深化认识，积累分析和处理数据的方法，发展统计观念。

2.数形结合，相机渗透

（1）平均水平线。当学生出现思维障礙时，我们可以在条形统计图上画一条横线，即平均水平线，让学生在数形结合中更深层次理解平均数的内涵。教材42页情境图上便有一条红色的虚线。

（2）质疑问难。解决练习题时，教师提出问题“甲种饼干的月平均销售量为什么在140～180之间？”“如果小明的数学成绩多考8分，平均分数会变吗？”“看统计图估计，平均每个兴趣小组有几人？你是怎样想的？”……意在让学生领悟平均数的离散程度、易变性、均差之和等灵动的个性特征。

参考文献：

[1]葛 晶.小学数学教学中如何让学生理解平均数的统计意义[J].新课程（上旬刊），2016（10）.

[2]吴 骏，丁雪艳.中美小学数学教材平均数概念比较研究[J].云南教育（小学教师版）.2017（5）：9-10.

[3]徐 艳.还原平均数的本来面目——“平均数”教学设计与说明[J].小学数学教育，2016（20）.

（作者单位：山东省日照市新营小学）