数学竞赛中的解三角形问题

广东省兴宁市第一中学(514500) 蓝云波

数学竞赛中的解三角形问题

广东省兴宁市第一中学(514500) 蓝云波

三角是高中数学的重要板块,在数学的其他分支与实际生活中都有非常重要的应用.必修5中的解三角形是必修4的三角函数和三角恒等变换的后续知识,因此常常要用到必修4中的三角知识.这部分内容考查频率高,命题具有一定的规律性,难度适中.本文通过对近几年的竞赛题的分类例析,以提高同学们的学习效率,从而在竞赛中做到心中有数,触类旁通.

一、知识补充

除了课本的基础知识外,还应掌握以下的知识点.

1.射影定理(又称第一余弦定理或欧几里得定理)

在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则：

2.海伦公式

△ABC中的三边长分别为a,b,c,则△ABC的面积

二、典型例题分析

一、正弦定理的应用

例1(2016年甘肃预赛)在非等腰△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(2c-b)cosC=(2b-c)cosB.

(1)求角A的大小;

(2)若a=4,求△ABC面积的取值范围.

解析 (1)因为(2c-b)cosC=(2b-c)cosB,由正弦定理可得(2sinC-sinB)cosC=(2sinB-sinC)cosB,即sin2C-sin2B=sin(B-C).所以2cos(C+B)sin(C-B)= sin(B-C).因为△ABC为非等腰三角形,所以sin(B-C)/= 0,所以所以C+B=120◦,因此A=60◦.

(2)由正弦定理得：

所以△ABC面积

点评 解三角形的最常用技巧是边角互化,而正弦定理是实施这一技巧的最常见的手段.在解三角形中,三角形的性质的合理运用是解题过程中必须注意的问题.而三角恒等变换是解题的利器.

二、余弦定理的应用

(1)求BC长;

(2)求△DBC的面积.

在△ABD和△DBC中,由余弦定理可得

因为cos∠ADB=-cos∠BDC,所以

由①②可得a=3,b=1,即BC=3.

(2)由(1)得△ABC的面积为所以△DBC的面积为

点评 本题的关键是通过余弦定理转化为边的关系,在解题过程中多次使用了余弦定理.娴熟的运算能力是成功解题的保证.

三、正余弦定理的综合应用

例3(2015年河北预赛)在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,向量p=(sinA+sinC,sinB),向量q=(a-c,b-a),且满足p⊥q.

(1)求△ABC的内角C的值;

(2)若c=2,2sin2A+sin(2B+C)=sinC,求△ABC的面积.

解析 (1)由题意p⊥q,所以

由正弦定理,可得(a-c)(a+c)+(b-a)b=0.整理得a2-c2+b2=ab.由余弦定理可得,

又C∈(0,π),所以

(2)由2sin2A+sin(2B+C)=sinC可得,4sinAcosA+ sin(B+π-A)=sin(B+A).整理得,4sinAcosA= sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA.

①当cosA=0时,此时所以△ABC的面积为

②当cosA/=0时,上式即为sinB=2sinA,由正弦定理可得b=2a,又a2+b2-ab=4,解之得,所以△ABC的面积为

点评 本题综合考查了正余弦定理,对解三角形中的基本考点作了较为全面的考查.第二问考察了分类讨论的思想,容易忽视对cosA=0的情形的讨论.

四、向量背景下的解三角形问题

例4(2016年全国联赛)在△ABC中,已知求sinC的最大值.

解析 由数量积的定义及余弦定理知,

故已知条件化为

即a2+2b2=3c2.由余弦定理及基本不等式,得

点评 本题是一道以平面向量为背景的解三角形问题,在通过利用平面向量的数量积公式后与余弦定理建立联系,从而明确问题解决的方向.在求最值时,基本不等式的利用是解题的关键.

五、以几何图形为背景的解三角形问题

例5(2015年第26届希望杯邀请赛高一2试)如图,四边形ABCD有外接圆,已知AB=2,BC=6,CD=DA=4.

(1)求对角线BD的长;

(2)作∠BPD=60◦,试求PB2+PD2的取值范围.

图1

解析 由余弦定理,得

因为四边形ABCD有外接圆,所以∠A与∠C互补.于是由①得

(2)设∠PBD=θ,则 ∠PDB=120◦-θ,θ∈(0◦,120◦).在△PBD中,由正弦定理,得因为2θ-30◦∈(-30◦,210◦),所以故PB2+PD2的取值范围为(28,56].

点评 本题综合使用了正余弦定理,对平面几何图形的边角关系的洞察是解题的关键.在求取值范围的过程中,也使用了三角恒等变换.

六、利用射影定理证明三角不等式

例6(2011年第七届北方数学奥林匹克邀请赛)在△ABC中,证明：

证明 由射影定理和柯西不等式,得

以上三个式子相加即得所证不等式.

点评 本题所要证明的三角不等式,可通过射影定理结合柯西不等式,把角的关系转化为边的关系,三个局部不等式累加实现问题的解决.

七、利用海伦公式证明不等式

例7(2007年英国数学数学奥林匹克试题)

已知a,b,c≥0,求证：

证明 由于a,b,c都是非负数,以及

中至多有一个是负数,当a+b-c,a+c-b,b+c-a中有一个是负数时,不等式显然成立,下面对这三个因式值都是正数时加以证明.

当a+b-c,a+c-b,b+c-a都是正数时,以a,b,c为边,可构成一个三角形.由海伦公式得

(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=(4S)2,其中S表示该三角形的面积.所以

点评 本题是一个纯粹的不等式问题,但通过分析,发现式子的结构与海伦公式有一定的相似之处,故可通过巧妙借助构造三角,证明a+b-c,a+c-b,b+c-a都是正数的情形,而其他情况显然是成立的.

通过以上的分析,我们发现,竞赛中的解三角形问题,既有传统、难易适中的问题,也有难度较大的综合问题,试题呈现出多样性.对有些非解三角形问题,若能通过细致的观察,结合实际构造三角形,转化为解三角形问题,也是一种可行的策略.通过发散思维,能提高解题能力与数学素养的提高.