深入挖掘教材 探究椭圆定义

王丙森

人教版普通高中课程标准实验教科书《数学》（A版）选修2-1第二章“圆锥曲线与方程”第2.2节“椭圆”给出了椭圆的定义：平面内与两个定点的距离和等于常数（常数大于两定点间距离）的点的轨迹叫做椭圆.通过研究教材笔者发现，在教材中还隐藏着一些椭圆的其他定义方法，值得我们去发现和发掘.

定义1：如图1，教材中通过探究固定两点，用绳画椭圆的方法给出椭圆第一定义：平面内与两个定点F1，F2距离的和等于常数（常数大于│F1F2│）的点的轨迹叫做椭圆.定点F1，F2叫做椭圆的焦点，焦点的距离│F1F2│叫做椭圆的焦距.

定义2：如图2，教材P47例6和教材P50“信息技术应用”部分“用几何画板探究点的轨迹”给出了椭圆第二定义：若点M（x，y）与定点F（c，0）的距离和它到直线l：x=■的距离的比是常数■（a>c>0），则点M的轨迹是椭圆.定点F（c，0）是椭圆的一个焦点，直线l：x=■称为相应于焦点的准线.

定义3：如图3，在教材P42“探究与发现”部分阅读材料“为什么截口是椭圆”中，给出了椭圆的截面定义：用一个不与圆锥底面平行的平面去截一个圆锥，若截口是封闭的曲线则为椭圆，这也解释了为什么圆、椭圆、双曲线、抛物线叫圆锥曲线，书中用数学家旦德林的方法给予了证明，使椭圆的第一定义与椭圆的截面定义完美结合.

定义4：如图4，由教材P41例2能得到椭圆的压缩定义：椭圆可以由圆上的点“均匀压缩”得到，这体现了圆与椭圆的关系.

定义5：如图5，通过教材P41例3可得出椭圆的斜率定义：设点A（-a，0），B（a，0），直线AM、BM相交于点M，且它们斜率之积是-■，则动点M的轨迹方程是■+■=1（x≠±a）.

定义6：如图6，教材P49习题2的2B组可由直线相交得到椭圆：作一个矩形长为2a，宽为2b，如图建系，若在线段OF上任取点R，在CF上取点R'，满足■=■，则直线ER和GR'的交点L的轨迹为椭圆的一部分，其方程为■+■=1（x≥0，y≥0）.

定义7：教材P49习题2的2A组：若点M（x，y）在运动变化过程中总满足■+■=10，则点M的轨迹是什么曲线？为什么？写出它的方程.

方程可以看成一个动点到两个定点的距离和为定值的点的轨迹，且距离之和大于两个定点间距离，所以点M的轨迹是椭圆，方程为■+■=1.

通过此习题推广到一般，可得到椭圆第一定义的等价式：

│MF1│+│MF2│=2a（M（x，y），定点F1（0，C）， F2（0，-C）， 2a>│F1F2│），

？圳■+■=2a

？圳■+■=1（b2=a2-c2）.

由此可以得到椭圆的文字语言、几何语言和数学符号语言，使代數与几何图形完美地结合，体现了解析几何的基本思想：利用条件建立曲线的方程，通过方程研究曲线的性质，同一种曲线可以有不同的产生和形式.

定义8：如图7，教材P49习题2的2A组：圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q 的轨迹是什么？为什么？点Q的轨迹是椭圆，根据条件可得│QO│+│QA│=r（r>OA），所以由椭圆的定义：点Q的轨迹是椭圆.

由上述对教材中椭圆定义的探究和发掘，可知教材的重要性，并得到以下启示：

1.教师教学要立足于教材

高中数学知识有很强的系统性，从教材目录开始，到每一章的全部内容，再到每个知识点的引入、定义的产生、公式的形成，教材中都有完整的展示.教师要准确地把握教材，体会教材的编写意图，掌握教材的整体框架，让学生在教材中学习数学知识的系统性和逻辑性，掌握数学思想和数学方法，清楚数学的本质.

2.教师要超越教材

在人教版《数学》教材中，每一节都设置有“观察”“探究”“思考”“课后阅读”“例题”“习题”，教师要学会优化教材结构，对教材进行创造性的整合和加工，将教材变成学生易于接受的数学知识.对例题、习题进行适当变式，培养学生思维的发散性和灵活性.

3.教师要把握考点

高考考点在书中，课本是试题之源，试题在书外，教师要在掌握教材方法的基础上向外拓展，提高学生的数学能力，使其顺利解答各种题目.教师要深入挖掘教材和高考的关系，让学生从书山题海中解脱出来，使学生的数学逻辑思维水平得到真正的提高.

总之，教材是知识的载体，教师的教学内容来源于教材，同时又要高于教材.教材是高考命题之本，教师要学会对教材进行挖掘和整合，学会全面审视教材，理解和掌握数学的本质，通过教材激发学生学习数学的兴趣，为学生提供丰富的数学思想和方法，培养学生学好数学，用好数学的意识.endprint