追本溯源，三视图巧回几何体

毛明明

纵观历年高考数学全国卷，几乎年年都会命制这样的选择题：给出几何体的三视图，求几何体的体积或者表面积.试题突出考查考生识图、画图、用图的空间想象能力，是高考的热点之一.由几何体的三视图还原为直观图是解决这类问题的关键.本文试图通过从空间几何体产生三视图的源头中，追溯到连接空间几何体及其三视图的根本，从而巧妙地解决三视图还原几何体问题.

提出问题

【例1】如图1，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）

A.6 B.6 C.4 D.4

【分析】这是2014年高考数学全国卷Ⅰ选择题的压轴题，由三视图还原几何体是解题的关键，也是这道题的难点，很多考生都无法完成.那么对于这类问题如何解决呢？以点定线、以线定面、追本溯源是解决这类问题的简单方法.

追本溯源

一、从直观图到三视图的启示

我们知道点动成线、线动成面、面动成体.点是所有空间几何体的根本，而有些点对空间几何体又起到关键作用，如多面体顶点所在的位置，就决定了该多面体的形状和大小.因此，我们可以利用这些关键点快速、准确地由直观图画出三视图.

【例2】如图2，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，画出三棱锥C1-BDE的正视图.

【解析】我们知道光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图称为几何体的正视图.根据正视图的定义，我们就清楚地看到了正视图产生的过程.

1.确定投影面

在本题中，我们可以把平面CDD1C1当作是投影面.

2.选择几何体的关键点

在本题中，三棱锥C1-BDE的关键点为四个顶点，即B，C1，D，E.

3.确定关键点在投影面上的投影点

在本题中，点B在投影面上的投影为C，其余三点的投影C1，D，E与自身重合.

4.确定各线段在投影面上的投影线（各线段对应的投影点相连就得到对应的投影线）

在本题中，棱BC1的投影为CC1，棱BD的投影为CD，棱BE的投影为CE，其余的棱的投影不变.

5.确定所画线段的虛实

看得见的线画成实线，看不见的线画成虚线，画出正视图如图3所示.

按照上述步骤，把平面CBB1C1當作是投影面画岀例2中三棱锥C1-BDE的侧视图（图4），把平面ABCD当作是投影面画岀例2中三棱锥C1-BDE的俯视图（图5）.

名师点拨：由空间几何体的直观图画三视图，确定空间几何体的关键点是根本.找准了关键点和关键点的投影，再连接关键点的投影就得到线段（棱）的投影，最后把看得见的线画成实线，看不见的线画成虚线，即完成了由空间几何体的直观图画出三视图的画图过程.所以，点是几何体的根本.

二、转换思路——还原几何体直观图逆向思维法

三视图还原几何体的题目，从考查空间想象能力的要求看，就是要考生能根据三视图想象出直观图. 高考试题的几何体往往是由我们熟悉的空间几何体（如正方体、长方体等）截去一些部分得到.我们能否利用这一思路来巧妙解决三视图还原几何体的问题呢？

再看例1的图1，三视图都与边长为4的正方形有关，我们可以考虑该几何体是由边长为4的正方体截去一些部分得到.

由直观图到三视图的启示可知，画几何体的三视图关键是从几何体的关键点找到对应投影点.因此，由几何体的三视图想象其直观图，解题的关键也应该是从三视图的关键点找几何体投影对应的点.若找其三视图对应的点难时，不妨从不是其三视图对应的点进行突破.我们可以按照下面的步骤来解例1.

【解析】设该几何体是由边长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1截去一些部分得到.

第一步，由正视图我们可以确定点A，D一定不在该空间几何体上，如图6，用空心圆点表示，从而得到AD上的点也一定不在该空间几何体上.

第二步，由侧视图我们可以确定点A，B和A1，B1一定不在该空间几何体上，从而得到AB和A1B1上的点也一定不在该空间几何体上.

第三步，由俯视图我们可以确定点A，A1一定不在该空间几何体上，从而得到AA1上的点也一定不在该空间几何体上。

第四步，由侧视图我们知道棱AA1，BB1的中点至少有一个在该几何体上，但由俯视图我们可以排除棱AA1的中点，故棱BB1的中点M一定在该几何体上.

第五步，通过前面的排除，还保留的点有C，C1，D1，M ，可以得到三棱锥M-CC1D1，如图7所示.我们可以利用例2的方法得到三棱锥M-CC1D1的三视图.

第六步， 对比验证，通过对比题目给出的三视图，从而验证所得结果是否正确. 如果三视图完全一致，我们得到满足要求的几何体；如果三视图不一致，我们可以考虑删减个别点再进行验证，直到得到满足要求的几何体为止.

综上所述，我们得到三棱锥M-CC1D1为满足题目要求的几何体，易知其中最长棱为D1M，D1M= =6，故选B.

【名师点睛】如果考生在三视图中不能确定点在不在几何体上，就可以用粘贴法来确定.

如将正视图复制粘贴在正方体的正面（图8-1），从图中就很容易知道点A，D不在几何体上；将俯视图复制粘贴在正方体的上面（图8-2），确定点A，A1不在几何体上；将左视图复制粘贴在正方体的左面（图8-3），确定点A，B和A1，B1不在几何体上.

【例3】（2016年全国卷Ⅲ）如图9，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）

A. 18+36

B. 54+18

C. 90

D. 81

【解析】该几何体由长、宽、高分别为6，3，6的长方体截去一些部分得到.

第一步， 由三视图可以确定点B，C，A1，D1 不在该几何体上，而棱AB，DC，A1B1，D1C1的中点E，F，M，N可能在该几何体上.

第二步，如图10，经过验证可知，四棱柱AEFD-MB1C1N为满足要求的几何体.

综上所述，该几何体为四棱柱AEFD-MB1C1N，底面是边长为3的正方形，侧棱长为3，所求表面积S=（3×3+3×6+3×3）× 2=54+18，故选B.

点石成金

当我们遇到给出几何体的三视图求几何体的体积或表面积的试题时，利用关键点由三视图想象并画出直观图是解题的关键.我们可以先假设空间几何体是由我们熟悉的空间几何体（如正方体、长方体等）截去一些部分得到.当直接找关键点困难时，我们通过转换思路，依三视图排除不在几何体上的点，留下在几何体上的关键点，最后再由关键点连接得到几何体.endprint