基于贝叶斯网络的施工项目进度计划动态更新方法

邓东磊+胡颖

摘要： 项目的工序间存在着普遍的相依性，在项目的进度管理中，合理考虑工时之间的相依性，有利于更加准确地预测和评估工期风险，从而更有效地控制工程进度。本文建立了一个基于贝叶斯网络的进度计划动态更新模型，度量工程进度网络中工序持续时间的相依随机性，并进行进度计划的动态更新，模型用贝叶斯网络表示工序间的相依关系，由专家估计工序持续时间的边缘分布及工序间协调系数，然后确定贝叶斯网络中的条件概率和分布，从而确定各工序持续时间的条件分布和总工期的分布。算例表明该模型能有效预测和控制工时的不确定性，有利于降低工程进度风险。

Abstract： There is the universal dependence between the project processes. In the project schedule management， considering the dependence between time reasonably， is conducive to predicting and assessing the schedule risk more accurately， so as to effectively control the progress of the project. This paper establishes an dynamic updating model of the schedule based on Bayesian network， which is used to measure the dependent random of the process duration in the project progress network， and dynamically update the schedule. The model uses Bayesian network to represent dependence between processes. The marginal distribution of process duration and the coordination coefficient between processes are estimated by experts， and then the conditional probability and distribution in the Bayesian network are determined， so as to determine the conditional distribution of each process duration and total duration. The example shows that the model can effectively predict and control the uncertainty of the working hours， which is conductive to reducing the project risk.

關键词： 项目进度管理；进度计划更新；相依随机变量；贝叶斯网络

Key words： project scheduling；schedule updating；dependent random variable；Bayesian Network

中图分类号：TU17；F426 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2017）33-0045-04

0 引言

在项目管理实践中，不同工序的工时变量之间存在普遍的相依性，且这种相依性受到诸多因素的影响。在实际的项目进度管理中，掌握各个工时变量之间的相依性意义重大，它能够将工期计划中的不确定性充分估计出来，提高了预测及评估工期风险的准确度，有利于施工项目工程的进度控制[1]。

国外很多学者都会项目进度网络中工时的线性相关性具有浓厚的兴趣，开展了较为深入的研究，建立的模型基本可归为三类，分别是仿真模型、解析模型、专家系统模型。Ringer[2]最早在PERT网络中考虑工时间的相关性，他提出了一个基于图论约简算法的解析模型；Fatemi Ghomi[3]、Mehrotra [4]建立了一种基于图论的路径相依模型；Van Dorp[5]等提出了一种基于多元统计的方法对工时间的正相关关系进行建模和度量。Padilla & Carr[6]开发了一个仿真模型来评价项目进度网络中的不确定性；Woolery[7]、Toura[8]等采用蒙特卡洛技术，建立了考虑工时相关和独立情形的随机进度网络模型；Wang & Demsetz[9]开发了一种考虑共同因素影响下产生的工时相关性仿真模型；Levitt and Kunz[10]、Cho[11]等建立了考虑工时相依性的进度管理的专家系统。这些方法对项目进度网络中的各种相依关系没有进行系统的研究，相关系数矩阵难以直接估计且须满足正定条件，工时间的相依性没有应用在进度计划的动态更新上。本文将贝叶斯网络与进度计划网络相结合，建立工时的相依随机网络结构，用直观的协调系数度量工时之间的相依性，分析工时的条件分布，对项目进度计划进行动态更新。

1 贝叶斯网络的基本原理

贝叶斯网络是一个带有概率注释的有向无环图，这个图模型能够表示变量集合的联合概率分布，可以分析大量变量之间的相互关系，利用贝叶斯定理的学习和统计推断功能实现预测、诊断、分类等任务。贝叶斯网络使用概率表示所有形式的不确定性，用概率规则来实现学习和推理的过程。关于一组变量X={X1，X2，…，Xn}的贝叶斯网络由以下两部分组成：

①一个表示X中变量的条件独立断言的网络结构S；

②每一个变量相联系的局部概率分布集合P。endprint

两者定义了X的联合概率分布。S是一个有向无环图，S中的节点一对一对应于X中的变量。以Xi表示变量节点，Pai表示中Xi的父节点。S的节点之间默认弧线则表示条件独立。X的联合概率分布表示为

以P表示式（1）中的局部概率分布，即乘积中的项p（xi|pai）（i=1，2，…，n），则二元组（S，P）表示了联合概率分布p（X）。当仅仅从先验信息出发建立贝叶斯网络时，该概率分布是主观的，当从数据出发，进而建立贝叶斯网络时，该概率是客观的[13]。

在应用领域中构建贝叶斯网涉及3个步骤：①分辨出建模领域中重要的变量及其可能取值，并以节点表示；②判断节点问的依赖或独立关系，并以图的方式表示；③获得贝叶斯网定量部分所需要的概率参数。

2 基于贝叶斯网的进度计划动态更新模型

2.1 基于贝叶斯网的相依随机网络计划结构

传统的建设项目进度管理方法主要包括关键路径法（Critical Path Method，简称CPM）和计划评审技术（Project Evaluation and Review Technique，简称PERT），CPM和PERT网络计划是根据工序之间逻辑关系而绘成，传统的网络计划由于不能反映工序之间的相依关系，因此在项目风险管理、计划更新等方面的应用受到很大的限制。单代号网络计划（AON， activity on node）与贝叶斯网络都是有向无环图，都以节点表示问题变量，以有向边表示变量间的关系；所不同的是，前者描述变量间的前后逻辑关系，而后者描述变量间相互影响的相依关系[1]。因此，本文将单代号网络计划与贝叶斯网络相结合，用来描述工时之间相依性的网络计划结构。

工时间的相依性可分为序列相依性与并行相依性[1]。对于序列相依的工序，可以直接用网络计划的有向边表示前后工序的相依关系，从而将网络计划直接转化为贝叶斯网络图。图1为某贝叶斯网络图，A，B，…代表工序名称，a，b…代表工时变量，箭线A→B表示A、B间的相依关系。在图中，同一调线路上的工序之間都存在相依关系[1]。对于并行相依性，主要存在有两种情况：①共同的紧前工序使不同的紧后工序之间产生相依性，如图1中，工时变量f的变化可能会引起工时变量g、h的相同变化，工时变量g的变化可能会引起工时变量i、j的相同变化，这时g、h，i、j间就存在相依性；②受共同的外在因素的影响使并行工序间产生相依性，图1中，F工序完成后的设计变更可能会使G、H工序都拖延，I、J实施中的恶劣天气可能会使I、J工序都拖延，这些因素使G、H，I、J间产生相依性[1]。根据贝叶斯网的条件独立性假设，第一种情况下的并行相依性已经被贝叶斯网络图中的序列相依关系所体现[18]。第二种情况下，可在贝叶斯网络图上针对并行工序添加共同的因素变量，使并行的工时变量相依，但条件独立于因素变量。

在一个考虑序列相依性及并行相依性的贝叶斯网络中，假定有一个包含n个工时变量的随机变量集V，有一个包含m个因素变量的随机变量集W，P表示条件概率分布集，K表示因素变量与工时变量间有向边的集合，L表示工时变量间有向边的集合，G表示有向无环图，则该贝叶斯进度网络可表示为：

2.2 工时相依度的估算

相依性度量的方法相应有不同的指标，但应用最广泛的还是Pearson的相关系数（r）。

相关系数（r）可以通过大量的统计数据计算得出，但考虑到工程项目的一次性和单件性特征，针对特定项目工序的持续时间往往难以收集到大量的样本数据，所以工时间的相依度大都只能通过专家的先验知识进行估计。而由式（3）可以看出，即使经验非常丰富的专家也很难准确地估计工时之间的相关系数。因此，本文采用协调系数[14]（τ）来度量工时之间的相依性。设（X1，Y1），（X2，Y2）是随机变量（X，Y）的两个独立样本，X，Y间的协调系数为[14]：

τXY表征变量X、Y的变化是否协调，0≤τXY≤1。τXY=1，表示X、Y的变化完全协调，X增大，Y也增大；τXY=0，表示X、Y的变化完全不协调，X增大意味着Y减小。对τXY求导可得：

由此可知，协调系数（τ）是相关系数（r）的单调增函数，通过专家估计出的协调系数可以求得相关系数：

2.3 工时的条件概率分布

贝叶斯网络计划中的概率参数包括两部分：一部分是节点变量的概率分布，描述节点变量即工时变量和因素变量的不确定程度；另一部分是节点变量间的条件概率分布，描述节点变量的相依程度。在工程实践中，工时分布一般可根据实际情况选用正态分布、三角分布、β分布、对数分布等[16]，本文假设工时变量为正态分布；因素变量一般由专家确定离散的概率分布集。对于因素变量与工时变量之间的条件分布，可由专家直接估计不同的因素条件下工时的条件分布；工时变量由于均为连续，无法直接确定其条件分布，可以先估计相依度（如相关系数等），再根据相依度估计相依工时变量间的条件分布。

在给定因素变量的情况下，工时变量的条件分布由专家直接进行估计[17]。如天气变量W={W1，W2}，受天气影响的工序A的工时变量TA的条件分布可估计为：

两个相依的工时变量之间的条件分布可由它们之间的相关系数求得：对于贝叶斯网络计划中的两个工序A、B，其工时变量分别为TA、TB。假设（TA，TB）为双变量正态分布，均值为（μA，μB），协方差矩阵∑=（σij），其中σ11=σA2，σ22=σB2，σ12=rABσAσB，rAB为TA、TB间的相关系数。则

2.4 进度计划的动态更新

在工时的条件分布已知的情况下，我们可以将已完工序的持续时间作为新的“证据”，去更新未完工序的工时分布。同理，当环境因素等发生变化时，可根据式（7）去更新受影响工序的工时分布。

设有两个工序A、B，A是B的紧前工序，其工时变量TA、TB为正态分布[17]：endprint

3 进度计划动态更新模型的应用

3.1 进度计划动态更新的一般步骤

要建立一个项目的相依随机进度计划并进行动态更新，包括三个主要步骤[1]：

①确定基于贝叶斯网络的相依随机进度网络结构。明确工序间的逻辑关系，绘制单代号（AON）网络计划；分辨工时的影响因素，明确工时的并行相依关系和序列相依关系，完成贝叶斯网络计划图。

②度量工时变量之间的相依程度。估计工时变量的均值和方差，估计因素变量的取值及概率；确定工时变量间的协调系数（τ），进一步确定相关系数（r），得出工时变量的条件分布；估计因素变量给定的条件下工时变量的条件概率。

③更新进度计划参数。当部分工序已经完成或者影响因素发生变化时，更新后续工序或受影响工序的工时分布；更新总工期的均值及方差，更新工程进度的风险评估值。

3.2 算例

实现项目进度计划动态更新的方法有多种，本文借助Excel工作表的宏命令来实现。某项目各工序如图2所示，各工序的逻辑关系、工时分布，以及实施过程中的实际工时、影响因素及其概率如表1所示。

专家估计的工序间协调系数（τ）及推算的相关系数（r）见图3。以实际工时和影响因素为新证据对后续工序进行更新，用Excel计算的结果如图3所示。计算步骤为：计算相关系数（r）；计算受因素影响的工时分布；计算工时的条件分布；工时更新。

4 结论与展望

用基于贝叶斯网络的相依网络计划结构，可以很直观地描述工时之间的序列相依性和并行相依性；文中提出的协调系数和因素概率表有利于专家直观地估计工时之间的相依性；利用工时的相依性，将已完工时及实际因素作为证据去更新后续工时计划的方法为实际工程进度计划的调整提供了新的思路。更新后的工时期望值更接近于实际工时，工时方差小于初始计划的方差。因此，考虑相依性的进度计划及其更新模型能较好地预测和控制工时的不确定性，有利于减弱工程进度风险。

由于缺乏工时信息统计数据，使得在实际应用过程中，难以用参数学习的方法确定工时变量间的条件概率分布，而主要依靠专家的先验知识进行估计，从而降低了本方法的科学性和精度。因此，在今后的项目管理实践中，应注重收集的工时相依信息，为同类工程的工时相依性研究提供支持。

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