高等数学教学中融入数学建模的思考与探索

仲寅生

（广元广播电视大学，四川 广元 628017）

高等数学教学中融入数学建模的思考与探索

仲寅生

（广元广播电视大学，四川 广元 628017）

高等数学是农科与理工科的一门公共课程，且与其他专业有着极为密切的关联.而数学建模作为联系高等数学理论与高等数学知识实际应用之间的纽带，唯有掌握数学建模的思想，才能进一步学好高等数学，进而促进其他专业的发展.本文通过分析数学建模融入高等数学教学中的具体步骤，并根据实际情况提出高中数学教学中融入数学建模的途径，以便能够全面提升高等数学课程的教学效率，帮助学生进行拓展训练，有效增强高等学校学生的核心素养.

高等数学；数学建模；实际运用

高等数学教学中，培养学生对数学知识的实际运用意识与能力固然重要，但若能让学生掌握建模的思想与方法，将能在极大程度上帮助学生理解高等数学.且将建模的思想与方法融入高等数学教学中，还将有利于学生发现问题、思考问题以及解决问题能力的提升.因此，作为高等数学教师，在实际的教学过程中，应注重教学与建模思想的结合，并采取有效的教学方法，以促进学生数学综合能力的发展.

1 在高等数学教学中融入数学建模思想的作用

将数学建模思想融入高等数学教学中，不仅有利于激发学生的学习兴趣，促使学生积极主动的学习与思考.还将有利于学生创新意识的培养，进而促进学生概括、归纳、创新等综合能力的发展.因此，作为高等数学教师，其在实际的教学过程中，应对数学建模思想在高等数学中的运用给予足够重视，进而积极利用数学建模思想，提升学生的学习兴趣，从而确保良好的教学效果.

1.1 置身现实情境，激发学生的求知欲和学习兴趣，提高学生运用知识解决生活问题的能力

传统的高等数学教学，教师往往过于注重知识的传授、公式的推导以及定理的证明.简言之，即教师的目光主要集中在了理论知识层面，其所追求的往往是严密的逻辑与完美的推理.而这样的教学方式，常使学生感到难以理解，久而久之，也便失去了学习的信心.对此，数学建模思想的引进将在一定程度上对原本的定理、概念起到有效的简化作用，继而方便学生理解，并由此让学生感受到高等数学的实用价值，进而激发学生的学习欲望，从而促使学生积极、主动的展开更深层次的探索.如针对固定起点最短路程的相关内容教学，教师便可采取如下方式进行问题设计：最短路是一条路径，且最短路的任一段也是最短路，现假设于—中只取一条最短路，则从到其余定点的最短路将构成亦可以的根的数.

针对以上题目，通过引进数学建模的思想，将能让学生观察更为直观、形象，继而有利于激发学生解决问题的欲望，相应的也提升了学生对高等数学知识的实际运用能力与解决问题的能力.

1.2 提升学生概括、归纳的能力，增强学生的创新意识

无论社会或个人，要想获得长足、稳定的发展，便必然需要不断地创新.唯有创新才能为社会乃至个人生活增添内动力，进而促进社会或个人的发展.对此，数学模型在高等数学教学中的运用便有利于学生创新能力的发展，且对学生创新意识的激发亦能起到良好的促进作用，从而确保学生的全面发展.

2 高等数学中数学建模的具体步骤

数学建模的过程，实则亦可将其视之为对实际问题的简化或对数学结构的重新梳理过程.与此同时，在数学建模的牵引下，学生在收集相关数据资料时，还将有利于掌握对象固有的特征一级内在规律，继而通过观察问题的主要特征，以反映问题真实的数量关系，从而方便利用相应的数学方法与理论去解决问题.

通常，数学建模的过程需历经准备、假设、建立、求解、分析以及检验等多重环节.其中，模型的准备是为了掌握研究对象的信息而进行了关于问题实际背景以及意义的调查，进而方便利用数学思想来探索问题的精髓，从而将数学思想贯穿于问题的全过程，以实现以数学语言来表达问题.对此，关于模型的假设便必然需要与数学的理论相吻合，且需照顾到数学的习惯，如此方能确保条理的清晰与准确.当然，考虑到数学模型的建立是基于假设的前提，因而针对各量之间的数学关系，可适当利用数学工具来表达.至于之后的求解则是利用前期所获取的数据资料来模拟计算模型的所有参数，以进一步明确模型的建立思路，进而方便展开数学上的分析.最终通过比较并分析模型分析结果与实际情形，以此来对模型的准确性与合理性进行验证，若两者吻合，则需给对相应结果的实际含义进行解释，反之则需对假设进行修改，使其满足以上条件.

在许多领域中，都能见到数学建模的身影，如疾病的预测便是一个绝佳的典范，如针对某类病菌感染情况的预测，首先需对该并需的危害、潜伏期以及传播途径等基础知识进行了解，而之后的数学建模则分别做出以下几种假设，分别为：

（1）现有感染者与单位时间感染人数的比例；（2）现有感染者与单位时间内痊愈人数的比例；（3）现有感染者与单位时间内死亡人数比；（4）患者痊愈后不再次出现感染现象；（5）忽略自然死亡的现象；（6）忽略迁移现象.

以以上假设为基础，设I(t)为t天时，病菌感染着数，b(t)为感染数，d(t)为死亡率，c(t)为治愈率，则模型的建立应为：

根据感染此病句数据按天公布之特点，进而得出I(t+1)=I(t)+r(t)I(t).至此，只需了解病菌最初的感染人数及其函数r（t），则可利用该模型进行预测.

3 数学建模思想融入高等数学教学的途径

高等数学，培养学生对数学知识的实际运用意识与能力固然重要.但若能让学生掌握建模的思想与方法，将能在极大程度上帮助学生理解高等数学，且将建模的思想与方法融入高等数学教学中，还将有利于学生发现问题、思考问题以及解决问题能力的提升.一切数学的概念与知识均是由现实世界所构建的各种模型中抽象而来，因而针对数学理论与应用，利用建模的思想将是最佳手段.对此，作为高等数学教师，其在实际的教学过程中，应时刻渗透数学建模的思想，并注重将数学建模的思想渗透至高等数学的各个角落，包括问题的应用、基本概念的应用高一级课后作业的渗透，注重教学与建模思想的结合，并采取有效的教学方法，以促进学生数学综合能力的发展.

3.1 在概念引入时渗透数学建模思想

众所周知，数学来源于生活，因而针对数学概念的形成过程也硬背学生所熟知，如此方有利于学生在面对生活中的实际问题时，尝试引进数学相关概念，进而从多角度去体会，以抽象出客观事物的数量关系，进而了解实际问题的数学原理，从而建立与其他领域之间的联系.

例如，针对导数概念的引进，教师便可首先引导学生就导致的本质，即相对变化率的极限展开思考，随后通过建立与实际问题之间的联系，尝试运用数学模型，从而深化学生对导数本质概念的理解.当然，在实际的教学过程中，教师除了引用经典例子外，还可参照实际问题，如经济模型中的成本变化率、人口模型中的出生与死亡率等.通过对照实际原型，以从中筛选出有价值的数据与信息，继而通过建立数学模型的方式来达到解决问题的目的.

3.2 在数学应用时体现数学建模思想

在实际的教学过程中，为进一步体现数学建模的思想，教师可在学生学完每一章节的知识后，联系实际应用设计一些与本章内容相关的问题，而后要求学生建立数学模型对问题进行合理的简化与建设，继而求出问题的答案.与此同时，教师还可在此前数学建模经典范例的基础上进行适当的扩充，使其范围不再局限于几何、物理等领域，而是涉及更多方面，如生物、生态、交通、经济管理等.通过对这些实例的研究，一方面能可促使学生初步掌握建模的方法，另一方面则是有利于学生分析问题与解决问题能力的提升，继而让学生感受到高等数学于实际生活的重要作用，从而充分发挥数学的独特魅力与价值，以激发学生的学兴趣，最终确保良好的教学校规.

例如，当进行微分方程的相关内容教学时，教师便可将历史上的著名问题引进课堂，如人口增长预报模型，赝品鉴定问题等.

3.3 在课程大作业中突出数学建模思想

在高等数学教学中引进数学建模的思想，除了要求学生要熟练掌握基本的数学概念、原理以及方法同时，还需对建模的思想与方法有相当程度的了解，如此方能达到解决有难度实际问题的目的，而这样的目的仅是利用现有的课时还远远不够，因而作为高等数学教师，可充分利用课程大作业环节.其中包括总结性的论文、与生活密切相关的综合性应用题以及数学方法的实现等.如此方能进一步促进学生综合分析问题以及解决问题能力的发展，继而增强学生对数学知识的实际应用意识.当然，在课程大作业中，教师还可提出许多现实问题，然后要求学生从中抽象出相应的数学模型，以此突出数学建模思想并提升学生的建模能力，进而达到解决实际问题的目的.

3.4 融入数学建模思想的教学案例

针对在高等数学中融入数学建模的思想，相应的也给任课教师提出了一定的要求.任课教师必须对相关专业知识了若指掌，且具备较宽的知识面，方可对学生进行有效的指导，进而让学生感受到建模对学习高等数学的重要帮助.在实际的教学过程中，教师还应结合各章节的具体内容，选取其中最具代表性的案例，将数学建模的思想融入其中.

例如，针对函数极限中与“存款”相关的问题，教师便可通过数学建模思想的引进让学生感受极限在生活中的实际运用；当学习函数的零点存订立后，则可提出相应的“登山问题”；当学习数列时提出“生小兔问题”以及学习定积分后提出的“订货存储问题”.

在实际的教学过程中融入创新意识，教师具体可通过一题多解的方式，要求学生寻求新的解题思路与方法，进而加强对学生创新意识的培养.高等数学学习过程中，遇到难解的难题是极为常见之事.若此时能勇于打破常规，便可能收获意想不到的效果.如针对求极限、求不定积分的一题多解以及与最优价格问题相关的建模.

应用意识的引进，其主要目的在于通过解决一些实质性的问题，来让学生感受到相关知识的具体应用，进而懂得运用什么方法讲课解决怎样类型的问题.与通过零点定理便可有效解决诸如“存款”“极限”以及“登山”一类的问题.与此同时，应用意识的融入还将有利于实践意识的激发，如极限、定积分等文斗都是融入实践意识的有效载体.

某些对生活现象的解释，或经过转化后最后得以解决或证明，这便是模型化意识融入的最大帮助.与此同时，融入模型化意识，还将有利于将具体问题符号化，进而方便以模型化的方式进行处理.如Fibonacci数列便可运用模型化的思想去进行转化，且模型化后的结果，无论是在应用或是推广等各方面都更具价值性.

总之，将数学建模的思想融入高等数学教学中，不仅有利于学生的发展与提高，且对青年教师而言，亦可同等收益.因而针对数学建模思想在高等数学中的引进应当因其广大高等数学教师的广泛重视，并在实际的教学过程中注重体现数学建模的思想，如此方有利于学生解决实际问题能力的发展，且将带动学科教育的共同进步，进而促进教师与学生整体水平的提高.

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