Müntz有理函数的加权Lp逼近

王军霞， 李国成

(1.天水农业学校 基础部， 甘肃 天水 741400; 2.杭州科技职业技术学院 公共教学部， 浙江 杭州 311402)

Müntz有理函数的加权Lp逼近

王军霞1， 李国成2*

(1.天水农业学校 基础部， 甘肃 天水 741400; 2.杭州科技职业技术学院 公共教学部， 浙江 杭州 311402)

考察了加Jacobi权w(x)=xα(1-x)α(α≥0)的Lp空间中Müntz有理函数的逼近问题.利用K-泛函与加权光滑模的等价性给出了逼近阶的估计以及Ditzian-Totik型定理.所得结果将已有文献中的相应结论推广到了加权情形.

加权Lp逼近；Müntz有理函数；逼近速度

0 引 言

简便起见，记

记

∧n： ={λ1,λ2,…,λn},

Rn(∧)： =

定理1给定M≥0.如果0≤λ1<λ2…<λn<…,且λn+1-λn≥Mn,n=1,2,…,那么对任意f∈C[0,1],n=1,2…,存在r(x)∈Rn(∧)使得

ωψθ(f,t)=

对于Lp空间的Müntz有理逼近，YU等[11]得到了以下定理：

这里CM,N,p为仅依赖于M,N和p的正常数，ωψ(f,t)p定义为：

而

当ψ(x)≡1时,定理2即为文献[10]中的结论.

首先，有以下结论：

这里

ωψ(f,t)p,ω： =

当ω(x)≡1,1≤p<∞时,定理3即为定理2.

‖f-r‖p,ω≤

方便起见，本文中以C表示正常数，其值可能依赖于M,N,p和α等参数，但不依赖于f和x.它们的值在不同的地方可以不同.

1 引 理

置

其中Δλ1=λ1, Δλκ=λκ-λκ-1,κ=2,3，…

(1)

其中，

显然，Ln(f,x)∈Rn(∧)为正线性算子.这一算子在本文结论的证明中起关键性作用.

引理1对x∈[xj-1,xj],1≤j≤n,有如下不等式成立：

rk(x)≤Ce-CM(N+1)|κ-j|,κ=1,2,…,n-1.

(2)

证明参考文献[12]引理1的证明，便可得到此结论.

引理2对任意x∈[xj-1,xj],2≤j≤n,有

或

[xk,x],k=1,2,…,n.

(3)

对x∈(0,x1],1≤j≤n有

(4)

记xj为距离x最近的结点，则有

(5)

式(3)和(4)包含在文献[11]的引理1中，而式(5)为文献[12]中的结论.

Kψ(f,t)p,ω： =

则有

Kψ(f,t)p,ω～ωψ(f,t)p,w,

这里A～B表示存在正常数C使得C-1≤A/B≤C.

当ω(x)≡1时，引理3为文献[5]中的theorem 3.1.2,而其他情形可以套用文献[6]中的方法得到，在此略去详细过程.

引理4对任意μ>0,x∈[0,1]，以下不等式成立：

(6)

证明若x∈0,x1，则由式(2)和(4)得

若x∈x1,1,则由式(2)和(3)得

(7)

引理5对任意x∈[xj-1,xj]，有以下不等式成立：

(8)

证明分以下几种情形来证明结论.

因此，式(8)成立.

这里ξ1∈(j-1,k),ξ2∈(k,n).

当k>An时，分2种情况来估计.

k-j≥An-j>A21/N+1-1j-A21/(N+1)>

因此

由上面讨论知，式(8)在情形4时亦成立.

C(|j-k|+1)α(N+1).

综合以上各种情形的讨论，引理5得证.

‖Ln(f)‖p,ω≤C‖f‖p,ω.

(9)

(|j-k|+1)α(N+1)-1.

(10)

利用式(10)和(8)，有

当p=∞时，由引理1和式(8)得

|ω(x)Ln(f,x)|=

C‖f‖∞,ω.

根据Riesz-Thorin引理[14]，即得

‖Ln(f)‖p,ω≤C‖f‖p,ω, 1≤p≤∞.

2 定理的证明

2.1 定理3的证明

因为Ln(f,x)∈Rn(∧),所以只要证明：

(11)

由引理3知，存在g∈AC[0,1]使得

(12)

(13)

(14)

利用引理6和式(12)，有

‖Ln(f)-f‖p,ω≤‖Lnf-g‖p,ω+

‖Lng-g‖p,ω+‖g-f‖p,ω≤

C‖f-g‖p,ω+‖Lng-g‖p,ω≤

因此，只要证明：

(15)

Ln(g,x)-g(x)=

(16)

利用ωxk-1～ω(xk),2≤k≤n-1,有(当p>1时要利用Hölder不等式，当p=1时直接讨论可得)：

(17)

当j=1时，利用引理1和式(8)，得

(18)

需要下列不等式：

或

t∈t*,x*,j≥2.

(19)

事实上，当j

(|j-k|+1)N.

当j≥k时，有x*=xj,t*=xk-1.因此，

由引理1以及式(3)(8)和(19)，得

(20)

由式(13)，(14)，(17)，(18)和(20)，证得式(15)，从而定理3得证.

2.2 定理4的证明

显然只要证明：

(21)

由引理3知，存在g∈AC[0,1]使得

(22)

(23)

(24)

根据Taylor展开式

有

ω(x)Ln(f,x)-f(x)=

(25)

根据式(6)，有

(26)

对K2，有

(27)

利用式(7)，有

(28)

利用式(28)以及ω(xk)～ωxk-1,2≤k≤n-1，类似于式(20)的讨论，可得

(29)

利用式(22)，由引理4得

(30)

对K23，有

(31)

类似于式(18)的讨论，推得

(32)

最后一步利用了式(24).

根据式(28)，类似于式(20)的讨论可得

(33)

利用式(23)，由式(31)～(33)，有

(34)

综合式(25)～(30)和(34)式(21)得证.

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WANG Junxia1, LI Guocheng2

(1.DepartmentofPublicEducation,TianshuiAgricultureSchool,Tianshui741400,GansuProvince,China; 2.DepartmentofPublicEducation,HangzhouPolytechnic,Hangzhou311402,China)

OnLP-approximationbyMützrationalfunctions. Journal of Zhejiang University (Science Edition)，2017, 44(6)： 711-717

In the present paper,we obtain the rate of Mütz rational approximation in weightedLpspaces with the Jacobi weightsω(x)=xα(1-x)α,α≥0. Based on the equivalence between the K-functional and the weighted moduli of smoothness, we establish the estimates of the approximation and two Ditzian-Totik type theorems.Our results generalize the related results of the existing researches.

weightedLp-approximation; Mütz rational functions; approximation rate

2016-11-10.

王军霞(1987—)，ORCID: http://orcid.org/0000-0003-3511-2494，女，硕士，讲师，主要从事函数论研究，E-mail： 79487694@qq.com.

*通信作者，ORCID: http://orcid.org/0000-0003-1903-7770，E-mail：yslgc@sina.com.

10.3785/j.issn.1008-9497.2017.06.010

O 174

A

1008-9497(2017)06-711-07