一种特殊图类的零度研究

汪文+沙元霞

摘要： 本文以三圈图中的特殊一类为研究对象，描述了这类三圈图的构造特点，通过代数学方法，研究了该图类的谱以及零度，并分析了具有这类图的生物结构的稳定性。

Abstract： In this paper， we study a kind of three cyclic graphs. Firstly we give the structure of these graphs； Secondly， we study the nullity by algebra theorem； At the same time we analyze the stability of this kind of graphs.

关键词： 三圈图；悬挂点；零度

Key words： three cyclic graphs；one-valent vertices；nullity

中图分类号：O157.5 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2017）34-0223-02

0 引言

图论作为数学领域中一个应用广泛的分支，其研究成果越来越多的被应用到各个领域中。其中关于图的谱和零度的研究在生物领域以及化学领域中都具有十分重要的意义，尤其是图的零度，能标志着某种化学结构的稳定性。图的谱是指图的邻接矩阵的特征值，而谱半径是指所有特征值中绝对值的最大者，图的零度是指图的谱中零特征值的数目。在文献[1] 中，已经对三圈图的结构划分为14类，这里我们将借助三圈图的分类研究一种特殊三圈图的零度性质，并分析其稳定性。

1 预备知识

定义1.1[2]：设G=（V，E）为一个简单图，其顶点集为V={v1，v2，…，vn}，边集为E。它的邻接矩阵定义为n阶矩阵A（G）=（aij），当点vi与vj点相邻时，aij=1；当点vi与点vj不相邻时，aij=0。

定义1.2[3]：图G的邻接矩阵A（G）的所有特征值的最大绝对值叫做图G的谱半径，记作？籽（G），图G的零度用符号？浊（G）表示。

引理1.1[4]：设G含有1度顶点，若G的导出子图H是通过删除这个1度顶点及其邻点所得到的，那么？浊（H）=？浊（G）。

引理1.2[4]：设r（A（G））表示A（G）的秩，则？浊（G）=n-r（A（G））。

2 图的结构

在众多的三圈图中，有一类三圈图同时含有C4，C5，C6由这三个圈所生成的三圈图是构成头孢类药物的基本结构，其化学结构图见图1，下文中将其记为图G。对于这类图，研究其谱及零度等性质，对分析该种化学结构的稳定性具有重要指导意义。

3 主要结果

定理3.1： 记图G1满足下列条件： ①G1是含有C4，C5，C6的三圈图； ②C4，C6具有两个公共顶点； ③C4，C5之间由P4进行连接，则？浊（G1）=？浊（G）。

证明：

因为图G1是含有C4，C5，C6的三圈图并且C4，C5之间有4长路相连，则A（G1）=，其中分块矩阵C1为由C5圈所构成的邻接矩阵，矩阵C2为由P4连接5长圈和4长圈所构成的邻接矩阵，矩阵C3为由具有两个公共顶点C4，C6的构成的邻接矩阵；B=，D=。

记V2=V（G）-V（G1），由图G1结构可知，V2中的点为悬挂点。

应用引理1.1，删除掉V2中的一个悬挂点，则G（V1）相对应的图记为H1，则有？浊（H1）=？浊（G）；此时如果V2中仍然有悬挂点，则重复应用引理1.1，在V2后，得到图H，则有？浊（H）=？浊（G）；由于V2=V（G）-V（G1），因此？浊（G1）=？浊（G1）

证毕

定理3.2：若图G1满足下列条件：①G1是含有C4，C5，C6的三圈图； ②C4，C6具有两个公共顶点； ③C4，C5之间由P4进行连接，则？浊（G1）=0

证明：考虑det（A（G1））=，因为C1为由C5圈所构成的邻接矩阵，故按照矩阵C1的第一列进行展开，

A（G）==（-1），其中C4=

因为B=，针对其矩阵特点，将其第一列进行列变换并按照矩阵的第一列进行展开，可得det（A（G1））=，其中B12以及C12表示由矩阵B的第一列乘（-1）加到BT，C1的第4列，并进行展开后所得到的新矩阵。

因为D=，针对其矩阵特点，将其第3行进行行变换并按照矩阵D的第三列進行展开，可得det（A（G1））=，其中D13以及C33表示由矩阵D的第三行乘（-1）加到C3中所有第一列存在1的那些行，并进行展开后所得到的新矩阵。

因此，det（A（G1））被转化为上三角矩阵，故det（A（G1））=CCC，其中这三个矩阵分别是圈的邻接矩阵，故可得det（A（G1））≠0，即r（A（G1））为满秩。

由引理1.2，可得？浊（G1）=n-r（A（G1））=0。

证毕

推论：已知图G1的结构如定理3.1所示，图G是由C1增加若干悬挂点所生成的图，则？浊（G）=0。

证明：由定理3.1可知，？浊（G）=？浊（G1），又由定理3.2可知？浊（G1）=0，故可得？浊（G）=0。

参考文献：

[1]Chang-xiang He ， Yue Liu ， Jia-yu Shao ， On the spectral radius of bicyclic graphs[J]. ournal of Mathematics Research and Exposition，2007.

[2]Bondy J.A，Murty USR. GraphTheory and Applications[M].New York：Academic press，1976：4-15.

[3]C.Godsil ， G.Royle ， Algebraic Graph Theory[M]. Springer—Verlag， 2001.

[4]沙元霞 .一类free图极小零度的图结构[J].齐齐哈尔大学学报，2009，25（3）：77-78.endprint