高中数学轨迹方程求法例谈

张旻

【摘 要】解析几何轨迹方程的求解是高中数学中的重点内容，不管是在平时的教学中还是考试中，这部分都是必学、必考的。本文在教学实践的基础上分析了四中轨迹方程的求法直接法、定义法、代数法、参数法等。希望笔者的观点能给大家的教学带来一些思考和启示。

【关键词】高中数学；轨迹方程；解法例谈

探讨分析解析几何中轨迹方程的求法不仅是提高学生学习能力的需要，也是提高数学课堂教学效益的需要。在平时的教学中，教师应坚持“授人以鱼不如授人以渔”的教学思想，只有教给学生恰当的学习方法，才能提高学生的学习能力。

一、直接法求轨迹方程

直接法：题目中的条件有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，列出含动点M（x，y）的解析式。

例1：在直角坐标系xoy中，已知动点P与平面上两定点M（-1，0），N（1，0）连结的斜率的积为定值-4，设点P的轨迹为C.

（1）求出曲线C的方程；

（2）设直线y=kx+1与C交于A，B两点，若⊥，求k的值。

解：（1）设P（x，y），x≠±1，由题意知=-4，化简得x2+=1，所以曲线C的方程为x2+=1（x≠±1）.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足

消去y并整理得（k2+4）x2+2kx-3=0，

故x1+x2=-，x1x2=-.

若⊥，即x1x2+y1y2=0.

而y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1，于是x1x2+y1y2=---+1=0，化簡得-4k2+1=0，所以k=±.

二、定义法求轨迹方程

定义法：分析题设几何条件，根据圆锥曲线的定义，判断轨迹是何种类型的曲线，直接求出该曲线的方程。

例2：如图，E，F是x轴上的定点，G、H、P是坐标平面上的动点，点P在线段FG上，点H在线段EG上，并且||=，||=4，，2，=0.

（1）求P点的轨迹方程；

（2）若直线l：y=x+m与P点的轨迹有两个不同的交点A，B，且·>2，求实数m的取值范围。

解：（1）根据题意，|PE|=|PG|，则|PE|+|PF|=4，因此点P的轨迹是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，其方程为+y2=1。

（2）将y=x+m代入+y2=1，得5x2+8mx+4（m2-1）=0，由Δ>0得m2<5. ①

设A（x1，y1），B（x2，y2），则·=x1x2+y1y2=.

由>2得m2>. ②

由①②得m的取值范围是-5，.

三、代入法求轨迹方程

代入法：如果轨迹动点M（x，y）依赖于另一动点P（a，b），而P（a，b）又在某已知曲线上，则可先列出关于x，y，a，b的方程组，利用x，y表示出a，b，把a，b代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程。

例3：已知点P是圆x2+y2=1上一动点，点P在y轴上的射影为Q，设满足条件的点M的轨迹为曲线C。

（1）求曲线C的方程；

（2）设过点N（1，0）且斜率为k1（k1≠0）的直线l被曲线C所截得的弦的中点为A，O为坐标原点，直线OA的斜率为k2，求k21+k22的最小值。

解：（1）设点P的坐标为（x0，y0），点M的坐标为（x，y），则点Q的坐标为（0，y0）.

由，得x=2x0，y=y0，即x0=，y0=y.

因为点P在圆x2+y2=1上，则+y2=1，故点M的轨迹，即曲线C的方程为+y2=1.

（2）由题设直线l的方程为y=k1（x-1），

得（4k21+1）x2-8k21x+4k21-4=0.

其中Δ=64k41-4（4k21+1）（4k21-4）

=16（3k21+1）>0.

设直线l与曲线C的两交点坐标为（x1， y1），（x2， y2），

则x1+x2=，

y1+y2=k1（x1+x2-2）=，

所以k2=.

所以k21+k22=k21+≥，当且仅当k1=±时取等号。

故k21+k22的最小值为.

四、参数法求轨迹方程

参数法：如果轨迹动点M（x，y）的坐标之间的关系不易找到，也没有相关点可用时，可先考虑将x，y用一个或几个参数来表示，消去参数得轨迹方程.参数法中常选角、斜率等为参数。

例4：设椭圆方程为x2+=1，过点M（0， 1）的直线l交椭圆于点A，B，O是坐标原点，点P满足=（+），当l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.

解：直线l过点M（0， 1），设其斜率为k，则l的方程为y=kx+1.

记A（x1， y1），B（x2， y2），由题设可得点A，B的坐标（x1， y1），（x2， y2）是方程组的解。

将①代入②并化简得，（4+k2）x2+2kx-3=0，

当k不存在时，A，B中点为坐标原点（0， 0），也满足方程③，所以点P的轨迹方程为4x2+y2-y=0.

总之，无论用哪种方法求轨迹方程，都应注意轨迹方程的完备性和纯粹性。求出的轨迹方程中若有的解不符合轨迹条件，从而使轨迹图形上有不符合轨迹条件的点存在，则该方程及其曲线不满足纯粹性；求出的轨迹方程所表示的曲线若不是所有适合条件的点的集合，即曲线之外还有适合条件的点存在，则该方程及其曲线不满足完备性。在解题时，只有都兼顾才能求得正确答案。endprint