浅谈投票悖论及对投票制度的思考

成春阳

【摘 要】 本文用統计方法对目前的投票制度及投票方法存在的问题进行了论证分析，并提出了对策建议，即要实现绝对的公平，引入客观可行性评分制度是一种可行的方法。

【关键词】 投票悖论；相对公平；绝对公平；评分统计投票

投票悖论提出了偏好排序条件下，备选方案足够多时是不能选出最优方案的，后来阿罗进行数学论证提出了在民主的制度下不可能得到令所有的人都满意的结果，这些条件假设在相对公平条件下是成立的，但是相对公平的基础：少数服从多数，这种方式本身就存在绝对的不公平。无论是在我国的村民大会、人民代表大会或者国外国会议员的投票行为之中，都难免发生这样的投票悖论，如果处理不好就会面临做不出决定的困境或者诱发政治动荡。如在2016年出现的美国大选黑天鹅事件；以及英国脱欧都是由于选票的问题引发的，进而引起了社会动荡。下面我们将用统计方法对目前的投票制度及投票方法存在的问题进行论证分析，并针对这些问题提出对策建议。

一、在相对公平条件下投票悖论存在的合理性

1、投票悖论的含义

十八世纪法国思想家孔多赛就提出了著名的“投票悖论”，也称做是“孔多塞悖论”：假设甲乙丙三人，面对ABC三个备选方案，有如下的偏好排序：甲方案为A>B>C；乙方案为B>C>A；丙方案为C>A>B。

由于甲乙都认为B好于C，根据少数服从多数原则，社会也应认为B好于C；同样乙丙都认为C好于A，社会也应认为C好于A。因此社会应认为B好于A。但是，甲丙都认为A好于B，所以出现矛盾。投票悖论反映了直观上良好的民主机制潜在的不协调。

2、关于投票悖论的进一步说明

二种备选方案：投票悖论出现概率为1-2！/2^1=0

三种备选方案：投票悖论出现概率为1-3！/2^3=25%

四种备选方案：投票悖论出现概率为1-4！/2^6=62.8%

n（n非常大）种备选方案：投票悖论出现概率为1-n！/2^（1+2+…n-1）=1-n！/2^[n*（n-1）/2]≈100%

说明：n种备选方案会产生n！种排序，会产生n*（n-1）种分项（所有备选方案两两组合的结果），从而排除无关分项（不影响结果的项）后会产生[n*（n-1）/2]种可能，进而产生2^[n*（n-1）/2]种不同的组合。

综上所述，我们可以看出当对两种或者三种方案进行投票时，有很大概率可以得到可行方案的排序。但是随着方案的增加，得到最优方案的概率逐渐减少，当备选方案足够多时出现最优方案的概率几乎为零，这也符合阿罗对投票悖论的证明结果。

二、在绝对公平下投票悖论存在的不合理性

在相对公平的条件下，投票悖论有存在的合理性，但是投票悖论存在所依存的基础，少数服从多数的原则却存在着不合理性。首先绝对公平是指：第一，人们做出的选择是理性的。第二，人们对选择的偏好不仅有横向的比较而且有纵向的比较，即不仅能够反映一个团体对不同方案的选择偏好，还能体现同一方案不同团体对这个方案偏好的差异。然后引入客观可行性评分机制，即对于不同的方案投票者在心中都有一个客观可行性的评分。

客观可行性评分机制的要求：（1）评分有一定范围：对方案可行性进行提前筛选，减少了投票者需要处理的无关信息的影响，提高了投票效率和投票准确度。（2）利用统计方法对数据进行处理，增加数据的代表性。

1、首先讨论单选的情况

根据淘汰机制，两两比较方式的分析。假设两种投票方案A>B，那么胜出的方案为A方案，这种方案是在投票者偏好排序的基础上进行的，现就两种投票方案进行分析。

假设得票数A=3/5，B=2/5，那么A获胜，引入客观可行性评分机制后：

最终结果B>A，B当选，推翻了相对公平下的假定，由此我们可以推测存在三种或者更多的投票方案情况下进行单选投票时也会出现上述的问题。

此外，如果A，B分别为脱欧与不脱欧的客观可行性评分，那么最终结果将是出人意料的：英国不脱欧。

2、然后讨论多选投票的情况

假设三种备选方案分别是A，B，C，在三种选两种，最后得到的结果是：AB=5/12；BC=3/12；AC=4/12；A得票数3/6， B得票数2/6，C得票数1/6；最终结果：A>B>C；选票结果是AB。

引入投票客观可行性评分：

最终结果是B>C>A，选票是BC，推翻了相对公平下的假定，由此我们可以推测存在多种投票方案情况下进行多选投票时也会出现上述的问题。

综上所述，我们可以得出，存在多种方案进行单选或者多选投票时，最终不一定能得到公平的结果，因为这样投票虽然简单易行但是却缺乏准确性，不能反映每个不同投票方案具体的个体差异。

三、对于目前投票制度的思考与建议

投票本身的意义，在于反映不同利益群体对于不同方案的不同偏好， 而要完全满足所有人的利益的方案，在利益冲突的情况下又是矛盾的。所以所选的方案只能是综合各方面利益的最优方案，即机会成本最小的方案。多数原则不一定绝对公平，这在前面已经得到论证，因此目前存在的各种投票制度实现的只是一种相对公平。要实现绝对的公平，引入客观可行性评分制度是一种可行的方法，这种统计投票的方式需要一定的技术条件才能实现（需要对大量数据进行处理），因此存在一定的局限性，但是对于重大方案的投票又有其存在的价值。

首先以公司投票选举董事为例，现在公司股东表决投票实行累积投票制，进行差额投票，股东既可用所有的投票权集中投票给一人，也可给多人分散投票，按得票多少依次决定董事人选，这种方式打破了传统的股东一人垄断决策的方式，但是这种方式仍以相对公平为基础，存在着一定的不合理性。如果将统计投票的方式引入其中，首先设置一定的评分范围，然后每个股东对不同的候选董事进行评分，股东对自己选择的候选人，根据自己所占股份分配权重，最后计算出每个候选人的加权平均分作为他们的最后得分。这样的投票方式将使结果更加公平。

然后以民主选举为例，民主选举采用计分投票制，选民替每个候选人打分数，最终分数最高的人获胜（相当于比较平均值），这种取平均值的方式首先在数据偏态，U型数据分中均值并不具有代表性，其次未规定评分范围可能导致投票人非理性评分影响最终的投票结果，引入客观可行性评分可以很好的解决这个问题。

客观可行性分析建立在统计投票的基础上，要求统计的结果应该具有权威性、客观性。将统计学应用于投票数据分析不仅打破了传统的少数服从多数的简单投票方式， 而且更好的解决了垄断投票、操作投票的弊端，在更大程度上满足了投票人的利益。

四、结论

目前投票制度是以相对公平为前提的，在相对公平条件下：（1）在对各项备选方案进行偏好排序时，出现投票悖论的概率随着备选方案的增加而不断增加。（2）在对各项备选方案不进行偏好排序，即单选投票或者多选投票时，只能实现相对公平，而不能实现绝对公平，而相对公平条件下得出的最终结果并不一定是最优结果。

2016年美国大选黑天鹅事件和英国脱欧事件，都暴露出了投票制度的弊端，其原因是少数服从多数这一判断标准本身并不能准确的权衡每个投票人的全部利益，这种不全面性会导致投票结果不具有代表性。

【参考文献】

[1] （美）肯尼思.阿罗.社会选择与个人价值[M].陈志武等译.成都：四川人民出版社，1987.

[2] （美）保罗.萨缪尔森.经济分析基础[M].北京：商务印书馆，1992.

[3] 胡毓达.群体决策—多数原则与投票悖论[M].上海：上海科技出版社，2006.endprint