漫谈勾股数

姚 洁

漫谈勾股数

姚 洁

勾股定理是人类历史上光彩夺目的明珠，它是人类最早发现并用于生产、观天、测地的第一个定理；它是联系数学中最基本、最原始的两个对象——数与形的第一定理；它揭示了无理数与有理数的区别，引发了第一次数学危机；它开始把数学由计算与测量的技术转变为论证与推理的科学.满足勾股定理方程a2+b2=c2的正整数组（a，b，c）就称为勾股数组，简称勾股数，也叫毕达哥拉斯数.

勾股方程a2+b2=c2中含有3个未知数，方程的解不唯一.根据勾股定理，只要是直角三角形，三边长都是它的解.本文只讨论它的正整数解的情况，即勾股数，以下全文均设勾股数中第一个数为a，第二个数为b，第三个数为c，且a＜b＜c.

一、勾股数有公式可以计算吗？

1.a为奇数.

观察下列勾股数：（1）3，4，5；（2）5，12，13；（3）7，24，25；（4）9，40，41……可以发现两个特点：①a为奇数，且从3开始无间断，b、c是连续自然数；②a2=b+c.以上两个特点，为解决直角三角形的周长问题提供了方便.

问题1：直角三角形的两条直角边为正整数，其中一条短直角边的长为13，求这个三角形的周长.

很多同学看到只有一个条件，束手无策，其实，根据特点①，我们可以设出另一条直角边和斜边，利用勾股定理列出方程，进而求得周长.设另一条直角边为x，则斜边为x+1，列方程得132+x2=（x+1）2，解得x=84，则周长=182.或者根据特点②，我们可以先求出另一条直角边与斜边的和，进而求得周长.

在利用勾股定理解决直角三角形问题时，掌握勾股数之间的特征，往往能事半功倍.进一步研究3条边的关系，我们可以发现：

能不能用代数式表示这3条边呢？因为a为 奇 数 ，所 以 设 a=2n+1（n＞0），则2n2+2n+1,且 a2+b2=c2，至此，可以得出此类勾股数的公式：（2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1）.

2.a为偶数.

观察下列勾股数：（1）6，8，10；（2）8，15，17；（3）10，24，26；（4）12，35，37……可发现两个特点：①a为偶数，且从6开始无间断，b、c是连续奇数或连续偶数；②a2=2（b+c）.以上两个特点，也为求直角三角形的周长提供了方便.

问题2：直角三角形的两条直角边为正整数，其中一条短直角边的长为16，求这个三角形的周长.

根据特点①，我们可以设出另一条直角边和斜边，利用勾股定理列出方程，进而求得周长.或者根据特点②，我们可以先求出另一条直角边与斜边的和，进而求得周长.

进一步研究3条边的关系，我们可以发现：

……

同样，能否利用代数式表示这3条边呢？因为 a为偶数，所以设 a=2n（n＞2），则 b=且a2+b2=c2.至此，可以得出此类勾股数的公式（2n，n2-1，n2+1）.

3.勾股数的通式.

下面，我们来更为深入地研究一下勾股数.

由勾股定理，一个数的平方等于另外两个数的平方和，我们很自然地想到完全平方公式：（x+y）2=x2+y2+2xy①，（x-y）2=x2+y2-2xy②.

但是勾股定理的左右两边一共只有三项，且都是平方项，而完全平方公式却有四项，如何消去一项呢？若将①＋②，可得（x+y）2+（x-y）2=2x2+2y2，仍有四项，不合适；若将①-②，可得（x+y）2-（x-y）2=4xy，即（x+y）2=（x-y）2+4xy，等式的左右两边成功变成了三项，但不能保证4xy一定是平方项.如何将4xy变成平方项？一个简单而有效的方法就是令x=m2，y=n2，这样，等式就变为（m2+n2）2=（m2-n2）2+（2mn）2，于是，一个满足勾股定理的等式就产生了，勾股数可以用（m2-n2，2mn，m2+n2）表示，我们称它为勾股数的通式，其中m、n为正整数且m＞n.

这时，聪明的同学们就要问了，之前两个公式是不是这个通式的特例呢？其实，只要仔细观察一下，不难发现，当通式中的m=n+1时，勾股数（m2-n2，2mn，m2+n2）=(（n+1）2-n2，1），这就是第一个公式；当通式中的 n=1时，勾股数（m2-n2，2mn，m2+n2）=（m2-1，2m，m2+1），这就是第二个公式的变形.由特殊到一般，再由一般回归特殊的研究策略，是同学们在以后的学习中要重点培养的一种数学意识.

二、勾股数可以全是奇数吗？

我们已经初步认识了一些勾股数，例如：（3，4，5）、（5，12，13）、（6，8，10）、（7，24，25）、（8，15，17）、（9，40，41）、（10，24，26）、（15，20，25）……那么，一组勾股数中有几个奇数？几个偶数？

当m、n均为奇数时，则m2、n2也为奇数，进而m2-n2、m2+n2均为偶数，此时三个勾股数均为偶数；当m、n均为偶数时，则m2、n2也为偶数，进而m2-n2、m2+n2亦为偶数，此时三个勾股数均为偶数；当m、n为一奇一偶时，则 m2、n2也为一奇一偶，进而 m2-n2、m2+n2均为奇数，此时三个勾股数为一偶两奇.可见，不可能出现三个勾股数均为奇数的情况.

三、勾股数的分类

我们发现有些勾股数的最大公约数为1，例如（3，4，5）、（5，12，13）、（8，15，17），此类勾股数被称为本原勾股数.有些勾股数的最大公约数大于 1，例如（6，8，10）、（10，24，26）、（15，20，25），此类勾股数被称为派生勾股数.派生勾股数是本原勾股数扩大若干倍得来的，即若（a，b，c）是勾股数，则（ka，kb，kc）也是勾股数，其中k为正整数.利用公式得到的勾股数是本原勾股数，利用公式得到的勾股数既有本原勾股数，也有派生勾股数.

此时，我们再来回顾一下问题2.如果3条边是本原勾股数，则解法不变，周长为144；如果3条边是派生勾股数，可以先分解16，16=2×8=4×4，其中，a不可以等于2或4，当 a=8时，本原勾股数为（8，15，17），则扩大2倍后的派生勾股数为（16，30，34），此时周长为80.

所以，在用勾股定理解决此类问题时，要从本原勾股数与派生勾股数两个角度去考虑.

四、勾股数通式的局限性

目前，勾股数的通式还是有局限性的，它可以推导出所有的本原勾股数，但是不能推导出所有的派生勾股数，例如（9，12，15）、（15，36，39）……

同学们，加油吧，勾股数的奥秘正等待着你去发掘，神秘的数学世界正等待着你去征服！

（作者单位：江苏省常州市金坛区白塔中学）