关于高斯定理和环路定理的一些探讨

刘斌

【摘要】针对电磁学学习比较抽象的特点，以静电场为例回顾了静电场及其几何描述，对流速场的高斯定理和环路定理的物理思想做了较细致的解释，将其应用到电场和磁场的研究，从而使学生可以在该部分的学习中能宏观的把握这个贯穿始终的主线。

【关键词】电场强度 电通量 高斯定理 环路定理

【中图分类号】O441 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）43-0157-02

电磁学是大学物理中很重要的一部分内容，法拉第认为研究电力线比研究产生电力线的电荷更重要，揭示了大学物理中电磁学的研究对象：电场和磁场。但是电场和磁场是很抽象的物理概念，它们本身是看不见的客观存在，而在开始电磁学的教学后就很迅速的引入高斯定理和环路定理，由于没有清晰的物理直观，很多学生一开始就比较困惑，以至于学完电磁学后，发现不管是静电场还是恒磁场或是变化的电磁场，最后都是在研究高斯定理和环路定理，感觉到它们是真的重要，但是为什么重要的物理内涵不太清晰。在此我们作一点梳理。

一、静电场及电场线

电相互作用是人们继引力作用之后发现的新的非接触力，法拉第坚持近距作用的思想，提出了“场”的思想，他认为两个点电荷间的作用是第一个点电荷首先产生了电场，电场传到第二个点电荷处再对其进行力的作用，所以电场是在一定空间连续分布的矢量场。电场不太直观，法拉第又引入了“力线”这个几何的描述手段，使得人们对场的理解有了很强的物理直观。场强的大小对应于电力线的疏密程度。电力线的疏密程度可用n来表达，定义n=dN/dS：穿过垂直于场强方向的面元dS的电场线条数dN与该面元的比值。E与n成正比[1]即E=kn，有的物理著作[2]甚至直接写为E=n（场强等于电场线数密度），这种写法虽然不太严谨（直接相等显然不成立[3]），但好处是更加突出了物理直观。

二、高斯定理、环路定理的来源

电场是在一定空间连续分布的矢量场，怎么研究矢量场呢？流体力学给了答案[4]。设想有一条河流，河水不可压缩且均匀稳定的流淌，河中的每一个质元都有一个确定的流速，所有质元流速构成一个流速场，也是矢量场。对于这个流速场的几何描述是流线，与电场强度类似，某点的流速的大小可以认为是该点的流线线密度的大小。怎么认识不同流速场呢？我们直观的认识到流体具有两个基本特征：哪里能冒出水（泉眼），我们称之为源。河水有没有旋涡，我们称之为是否有旋，旋涡对应的流线就是个闭合曲线。源的数学描述方法为通量，用？准表示，对于流体来说，通量指单位时间内通过某一面S的体积即流量。假如是均匀的流速场，速度为v，面S为一平面且与v垂直如图1，那么流过该面的通量为vs，如果S面的法向方向n与流速移有一夹角？兹，如图2所示，通量？准=■·■=vscos？兹， 当通量为正时，称之为流进，为负时称为流出。如果S面是曲面，V为不均匀的流速场，取曲面上任意一小曲面元dS，可视为平面，该处的v可视为均匀，该面元的通量为d？准=■·d■，那么总的流量为对整个曲面做一个积分：？准=■■·d■。

特别地，当曲面为闭合面时，通量如果不等于零，说明在该面内一定存在“源”，将曲面是越收缩，“源”的位置就越精确。所以闭合曲面的通量等于多少就是高斯定理。

旋的数学表达叫环量，为矢量对任意闭合曲线的线积分。设想流体中某处地方有一个旋涡，那么该处的流线应该是闭合曲线，取一个与流线相同的一闭合曲线L，■■·■结果一定不等于零，值越大说明旋涡的程度越大。如果没有旋涡，■■·■一定等于零。■■·■等于多少这就是环路定理。

图1 速度与平面垂直 图2 速度与平面成一定夹角

总之我们看到高斯定理和环路定理抓住了流速场的本质，研究它们就可以弄清楚流体是否有源和是否有旋，可以区别不同的流速场并加以比较研究。对于一般的矢量场，通量、环路没有确切的物理含义，但只要对应到具体的场，通量和环量就有了自己的意义。

三、静电场的高斯定理、环路定律

那么，静电场作为矢量场，就要研究它的高斯定理和环路定理。对应的物理含义是什么呢？电场是由正负电荷产生的，所以电荷就是静电场的源，静电场一定是有源场。空间某点的场强E可以对应为通过垂直于场强方向单位面积的电场线条数，那么通过某个曲面S的电通量的物理图景就是通过S 的电场线的总条数，数学表达为？准e=■■·d■。静电场的高斯定理就是关于通过一个闭合曲面的电场线条数问题，它告诉我们总的条数等于闭合面内部电荷的代数和除以真空中的介电常量，数学表达为■■·d■=■。另一方面电场线首尾不相连，即没有像河流中打转的旋涡那样，是无旋场，任取一个闭合曲线L的环量定理始终等于零，数学表达为■■·■=0。

同样的，磁场作为矢量场，也一定是研究它的高斯定理和环路定理，当电场和磁场随时间变化时依然是矢量场，也要研究它们的源与旋即高斯定理和环路定理。与静电场类似，某点的磁感应强度的大小也可以理解为是该点通过垂直于磁场方向单位面积的磁感应线条数。由于磁感应是首尾相连的线， ■■·d■=0，■■·■≠0，具体等于多少则是课程学习的内容。可以想到当电磁场在变化的时候，作為矢量场仍然是研究高斯定理和环路定理。

电磁场的研究方法不同于力学和热学，根本原因在于该研究对象不同于质点或质点系，它们是矢量场，决定了必须应用新的物理思想和新的数学描绘描述手段。研究场的思想恰恰就是是否有源和是否有旋，描述手段正是高斯定理和环路定理。这样弄清了这些缘由，再学电磁学时就可以做到宏观的把握了。

参考文献：

[1]陆果.基础物理学教程（第二版） [M].北京：高等教育出版，2006.

[2]王纪龙，周希坚.大学物理（第四版） [M].北京科学出版社，2015.

[3]籍延坤.《高斯定理的数学证明》[J].大连铁道学院学报， 2004.9，25（3）.

[4]赵凯华，陈熙谋. 电磁学（第三版）[M] .北京：高等教育出版社，2011.