二步幂零Leibniz代数的自同构

扈全瑜，任 斌

（苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州215009）

二步幂零Leibniz代数的自同构

扈全瑜，任 斌*

（苏州科技大学 数理学院，江苏 苏州215009）

主要研究有限维二步幂零Leibniz代数N的自同构，运用矩阵表述的方式，得到了N2的维数等于1时，N自同构的充要条件，并给出了某些低维二步幂零Leibniz代数自同构群的分解。

幂零Leibniz代数；基；自同构

Leibniz代数是李代数的推广，最早是由Bloch在文献[1]中考虑，当时被称为D-代数。1992年，Loday在文献[2]中研究类似于李代数同调的Leibniz代数同调时，提出了这个概念。近年来，对Leibniz代数的研究越来越多，其中包括Leibniz代数的分类[3-5]和自同构[6-8]问题。文中主要研究的是幂零Leibniz代数中的二步幂零Leibniz代数N，在已有分类的基础上，通过矩阵表述的方式得到了N2的维数等于1时，N自同构的充要条件，并给出了某些低维二步幂零Leibniz代数自同构群的分解。

文中所讨论的都是复数域上的有限维幂零Leibniz代数。

1 基本概念

定义1[7]设N是一个线性空间，若定义的双线性映射[，]：N×N→N满足Leibniz等式

则称N是一个Leibniz代数。

定义2[9]设N是一个Leibniz代数，则N的理想序列{Ns}满足

其中：N1=N，Ni+1=[Ni，N]，i=1,2，3，…。 如果存在正整数 s＞1 使得 Ns=0，则称 N 是幂零的；若 N3=[N2，N]=0，其中N2≠0，则称N是二步幂零的。

定义3[10]设φ为Leibniz代数N的一个可逆线性变换，且满足

则称φ为N的自同构，N的全体自同构组成的自同构群，记作Aut（N）。

2 主要结果

这里主要讨论了二步幂零Leibniz代数自同构的充要条件，并利用该结果确定了一些三维二步幂零Leibniz代数的自同构群及群的分解。

2.1 自同构定理

引理 1 设N是Leibniz代数，{e1，e2，…，en}为N的一组基，φ是N的一个可逆线性变换，则φ是自同构当且仅当 φ[ei，ej]=[φ（ei），φ（ej）]，1≤i，j≤n。

证明 必要性显然成立。下面仅证充分性，

设N是一个n维的二步幂零Leibniz代数，且dimN2=1，取N2的一组基{en}，将en扩充得到N的一组基{e1，e2，…，en}，则有矩阵 D＝（Dij），使得

这里In表示n级单位矩阵。

令φ是N上的一个线性变换，则有矩阵A=（aij），使得

定理1 设N是一个n维的二步幂零Leibniz代数，dimN2=1，若φ是N的一个可逆线性变换，则φ是自同构的充要条件是可逆矩阵A满足：

（1）ain=0，i＝1，2，…，n-1；

（2）ATDA＝annD。

这里A，D如上，AT是矩阵A的转置。

证明 必要性 由于φ是自同构，所以φ（en）∈N2，从而

并有

因为[ei，ej]=Dijen，于是

于是，有

充分性 由必要性的证明过程，易证（1）式，即

由引理1知，φ是N的一个自同构，证毕。

2.2 自同构群的分解

定理2[11]在同构意义下，不可分解的三维幂零Leibniz代数有以下四种：

N1：[e1，e1]＝e2， [e2，e1]＝e3；

N2（α）：[e2，e1]＝e3， [e1，e2]＝αe3， α≠α－1；

N3：[e1，e2]＝e3， [e2，e1]＝-e3；

N4：[e1，e1]＝e3， [e2，e1]＝e3，[e1，e2]＝－e3。

由此定理可知，dimN2=1的3维二步幂零Leibniz代数有三类，分别为N2（α），N3，N4，下面对这三类的自同构群做进一步研究。

（i）Aut（N2（α）） 的分解

而 α≠α－1，则（1+α）≠0，所以 a12=0，a21＝0，a33＝a11a22。 故

证明 由已知，G21⊆Aut（N2（α））。 ∀φa，φb∈G21，有

所以 φaφb∈G21，并且 φaφb=φbφa。

故 G21是 Aut（N2（α））的交换子群。

定理 4 Aut（N2（α））=G21G22G23，｜G2i∩G2j｜=1，i≠j。

证明 显然 G2i∩G2j＝{I3}，i≠j，故｜G2i∩G2j｜=1。

∀φ∈Aut（N2（α）），由定理 3，有

因为 a11a22≠0，取

那么 φ＝φ1－1φ2－1φ3－1，从而 Aut（N2（α））⊆G21G22G23。 故 Aut（N2（α））=G21G22G23。

（ii）Aut（N3）的分解

则 G31，G32，G33，G34，G35，G36是 Aut（N,3）的交换子群。

定理 6 Aut（N3）＝G31G32G33G35G36G34，且｜G3i∩G3j｜=1，i≠j。

证明 ∀φ∈Aut（N3），根据定理 5，有

（1）当 a11≠0 时，可得 φ=φ1-1φ2-1φ3-1（证明过程与定理 4 的证明过程类似），其中 φi∈G3i。

即得 φ6φ5φ1φ′=φ6φ5φ1φφ4=I3，则 φ=φ1-1φ5-1φ6-1φ4-1。

由（1）、（2）知 Aut（N3）⊆G31G32G33G35G36G34。 故 Aut（N3）＝G31G32G33G35G36G34。

（iii）N4自同构群的分解

由于N4自同构群的分解与Aut（N2（α））的分解过程类似，因此，其定理、引理的证明过程不再赘述。

定理 8 Aut（N4）＝G41G42G43，且｜G4i∩G4j｜=1，i≠j。

[1]BLOCH A.On a generalization of Lie algebra[J].Math in Doklady，1965，165（3）：471-473.

[2]LODAY J L.Cyclic Homology[M].Berlin：Springer-Verlag，1992.

[3]CAÑETE E M，KHUDOYBERDIYEV A K.The classification of 4-dimensional Leibniz algebras[J].Linear Algebra and Applications，2013（439）：273-288.

[4]ALBEVERIO S，OMIROV B A，RAKHIMOV I S.Classification of 4-dimensional nilpotent complex Leibniz algebras[J].Extracta Mathematica，2006，21（3）：197-210. [5]蒋启芬.三维 Leibniz代数的分类[J].数学研究与评论，2007，27（4）：677-686.

[6]段永健.关于低维Leibniz代数的一些相关性质的研究[D].上海：华东师范大学，2007.

[7]LODAY J L，PIRASHVILI T.Universal enveloping algebra of Leibniz algebra of Leibniz algebra（co）homology[J].Math Ann，1993（296）：139-158.

[8]任斌.具有拟filiform根基的可解完备李代数的自同构群[J].苏州科技学院学报（自然科学版），2006，23（3）：1-5.

[9]AYUPOV SH A，OMIROV B A.On some classes of nilpotent Leibniz algebras[J].Siberian Math Journal，2001，42（1）：18-29.

[10]张云.代数F[x，y]的导子代数和自同构群[D].上海：华东师范大学，2008.

[11]ALBEVERIO S，OMIROV B A，RAKHIMOV I S.Varieties of nilpotent complex Leibniz algebras of dimensions less then five[J].Comm Algebra，2005，33（5）：1575-1585.

责任编辑：谢金春

The automorphism of two step nilpotent Leibniz algebras

HU Quanyu，REN Bin*
（School of Mathematics and Physics，SUST，Suzhou 215009，China）

Absttract：This paper mainly discussed the automorphism of finite dimensional two step nilpotent Leibniz algebra N.By way of matrix representation,we obtained a sufficient and necessary condition for the automorphism of the Leibniz algebras N when the dimension of the algebra N2was one.We also presented the decomposition of automorphism groups of some low dimensional two step nilpotent Leibniz algebras.

nilpotent Leibniz algebra；base；automorphism

O152MR（2010） Subject Classification17B05；17B30；17B40

A

2096-3289（2017）04-0020-05

2015-12-17

国家自然科学基金资助项目（11271056）

扈全瑜（1989-），女，河南周口人，硕士研究生，研究方向：李代数。

*通信作者：任 斌（1964-），男，博士，教授，硕士生导师，E-mail：renbin1964@163.com。