黎卡提方程的解法

张孟霞，郭春晓

摘要：17世纪，意大利数学家黎卡提提出方程：■=p（x）+q（x）y+r（x）y■称为黎卡提方程。黎卡提方程有着重要的应用，比如，可用此方程证明贝塞尔方程的解不是初等函数；另外，它也出现在现代控制论和向量场分支理论的一些问题中。黎卡提方程自从17世纪黎卡提提出以来，历经了三百多年一直未有一般解法，虽然有众多特例解法，但是未能从根本上解决这个方程。本文主要利用无穷小生成元的思想介绍黎卡提方程的几种解法。

关键词：黎卡提方程；无穷小生成元；李积分因子；典型变量

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）45-0164-02

一、黎卡提方程的几种等价形式

黎卡提方程的一般形式为：

y'=p（x）+q（x）y+r（x）y2（1）

1.方程（1）可以通过变换y=-r（x）y写为：

y'+y2=p（x）+q（x）y （2）

其中，q=q+■，p=-rp

2.方程（2）可以通过变换■=y-■q（x）写为：

■'+■2=■（x）（3）

其中，■=-■q'+■q2+p

3.方程（2）可以通过变换y=■写为一个二阶线性方程：u"=q（x）u'+p（x）u（4）

二、黎卡提方程可线性化的充分条件

定理：黎卡提方程（1）可线性化的充分条件为：（A）方程（1）有形式y'=q（x）y+r（x）y2，或有形式y'=p（x）+q（x）y+k（q（x）-kp（x））y2，其中k为常数；（B）方程（1）有一个常数解。当方程（1）满足（A）、（B）条件中的任何一个时，则方程可线性化。

例：将方程y'=q（x）y+r（x）y2（伯努利方程）线性化。

解：将方程左右两边同时除以y2可得：

y-2y'=q（x）y-1+r（x）

令z=y-1则上式可转化为一阶线性微分方程：

z'=-q（x）z-r（x）

三、黎卡提方程的通解

1.黎卡提方程的性质。方程（1）的任意四个特解的交比为常数，即若y1、y2、y3、y4为四个特解，则：

■∶■=c（c为常数），

假设y1、y2、y3是黎卡提方程（1）的三个不同特解，则由上述式子可得方程（1）有如下形式的通解：

y=■，

其中φ1=y2（x）-y3（x），φ2=y3（x）-y1（x），ψ1=y1（x）φ1（x），ψ2=y2（x）φ2（x）.

2.利用李积分因子法求解黎卡提方程的通解。首先介绍无穷小生成元。假设一个一阶常微分方程具有单参数的李对称，在点（x，y）处的切向量为（？孜，？浊）则偏微分算子X=？孜（x，y）？坠x+？浊（x，y）？坠y （5）被称为李群的无穷小生成元。

考虑如下写成对称形式的一阶微分方程：

P（x，y）dx+Q（x，y）dy=0（6）

李指出，如果（5）是方程（6）的无穷小生成元，并且？孜P+？浊Q≠0那么函数μ=■ （7）是方程（6）的一个积分因子，并称为李积分因子。

例1：利用李积分因子法求黎卡提方程（y2-■）dx+dy=0 （8）的通解。

解：该方程存在伸缩变换群：x=xea，y=ye-a，因此有如下的无穷小生成元：

X=■ ■+■ ■=x■-y■

从方程以及上述方程可以看出：

？孜=x，？浊=-y，P=y2-■，Q=1

将以上式子代入（7）可得积分因子：

μ=■，

在方程（8）两边乘以上述积分因子，可得：

■dx■dy=0

这是一个全微分方程d？椎（x，y）=0，则

？椎（x，y）=■■dx■dy

=■■dx+■■dy=lnx+■ln■，

方程的通解为？椎（x，y）=c即：

lnx+■ln■=lnc，

化简得：y=■

3.利用典型变量方法求黎卡提方程的通解。

如果无穷小生成元（5）经过变量变换u=u（x，y），

t（x，y）變成X=■我们则称变量u、t为典型变量，典型变量满足如下方程：

？孜（x，y）■+？浊（x，y）■=1（9）

？孜（x，y）■+？浊（x，y）■=0（10）

例2：利用典型变量法求黎卡提方程 ■+y2-■=0 （11）的通解。

解：由例1可知黎卡提方程具有无穷小生成元 X=x■-y■，将？孜=x，？浊=-y代入方程（9）、（10）可得：

x■-y■=1，x■-y■=0.

解以上方程，我们可取典型变量：u=xy，t=ln|x|.用典型变量u、t将方程（11）改写为：

■=-u2+u+2

这是一个可分离变量的微分方程，解得：

u=■，

将u=xy，t=ln|x|代入上式，并化解得方程（11）的通解为：

y=■

参考文献：

[1]Hydon Peter E.Symmetry Methods for Differential Equations[J].Cambridge University Press，2000.

[2]李鸿祥.常微分方程的一些新的可积类型[J].数学的实践与认识，1980，（1）.

[3]李天林.黎卡提方程可积的一个充分条件[J].数学学报，1991，（5）.endprint