工程专业相结合的“线性系统理论”教学改革

高 飞， 岳振宇， 王 俊， 张有光， 祝 贺

(北京航空航天大学 电子信息工程学院， 北京 100191)

工程专业相结合的“线性系统理论”教学改革

高 飞， 岳振宇， 王 俊， 张有光， 祝 贺

(北京航空航天大学 电子信息工程学院， 北京 100191)

本文针对电子通信类研究生“线性系统理论”课程的特点，从课程体系、教学方法和案例选择等角度出发，提出结合工程实例的教学改革方案。在教学过程中，结合其他相关课程，引导学生建立“大学科观念”；利用相关知识改善“锁相环”跟踪性能，凸显其在解决实际问题中的作用。实践表明，课程改革提高了研究生工程分析和应用能力，效果明显。

线性系统理论；教学改革；锁相环

0 引言

“线性系统理论”是现代控制理论中最基本、最重要的一个分支，具有联系基础理论与应用理论的纽带地位。该课程内容丰富、涉及知识面广、有很强的理论性和工程应用性，在培养学生的系统概念、创新思维和科研能力方面具有重要的作用。因此许多重点高校和重要研究院所都将其设为研究生的基础课和专业必修课。

正是由于其通用性和交叉性，许多非控制专业的研究生会困惑于其理论意义及工程应用方式，如通信、电子专业的学生对该课程在信息类课程中的作用感到比较茫然，为后续专业课程学习、研究工作开展甚至就业等带来很多问题。

为了使通信专业学生能学会使用系统的观点、内外因结合的观点、事物相互作用相互联系的观点来解决相关领域中的问题，对“线性系统理论”课程教学进行专业导向性的改革具有十分重要的意义。

1 具有专业导向性的教学改革探索

1.1课程教改的必要性分析

“线性系统理论”以状态空间法为基础来分析与设计控制系统，对数理基础要求高，具有一定的深度和难度[1]。长期以来，教学内容与教学方法主要基于控制类专业，对通信专业的学生而言,学习兴趣不高，课堂效果欠佳。在课程结束时学生往往只记得一些基本知识点和控制系统的计算分析方法，没有达到本专业要求的教学效果[2-3]。

究其原因，主要可总结为以下几点：①学生不了解信息科学全貌，认为控制类课程的学习对于通信专业不重要，没有清楚地认识线性系统理论在整个信息科学中的重要地位；②教学内容与控制类专业基本相同，并没有针对通信专业做适当的调整，也没有体现出专业特色；③课程中选用的实际系统案例基本都是常见的倒立摆和RLC电路网络，案例选择过于单一，难以激发学习热情，学生不能将所学的控制理论知识与通信专业相关的实际系统充分地联系起来。

1.2建立大学科观念

针对通信专业的学生，所谓建立大学科观念是指了解信息学科全貌、清楚信息学科知识脉络、加强对关联学科情况的了解[4]。

线性系统理论以“信号与系统”和“自动控制原理”为基础，针对经典理论仅适合于单输入-单输出、外部描述和依赖某个环节的“试探法”等固有缺陷而提出的能处理复杂多输入-多输出、内部“状态变量”特征信息和借助现代计算机技术处理的理论，是已有课程的自然外延。信息学科中，“空时自适应信号处理”中Kalman滤波理论是用状态空间法设计的最佳滤波器，实用性强且可用于非平稳过程，其核心离不开“线性系统理论”的基础；“检测估计和调制理论”目的是从被噪声及其它干扰污染的信号中提取、恢复所需要的信息，估计出信号和干扰的运动模式，才能利用“线性系统理论”的鲁棒跟踪和内模原理，跟踪捕获有用信号并抑制干扰；“时间频率分析”和“现代谱估计”也是为了分析和获取信号特征；考虑状态方程、控制变量的约束条件和状态方程的边界条件，实现性能指标最优的系统设计则是“线性系统理论”的“智能优化方法”所关注的内容；“通信原理”阐述信息传输的基本原理，经常需要捕获跟踪特定信号、滤除不需要的干扰信号；“数字信号处理”采用数字方式对信号进行滤波和变换，强调了计算机工具的使用。此外，“先进导航技术”、“现代雷达系统”和“遥测遥控理论及系统”等课程一定程度上都体现了“线性系统理论”的工程应用。

总之，“线性系统理论”与许多信息类课程从基础到应用都是息息相关的，其中所涉的概念、方法和原理具有普适性，对信息学科的学生在认识论和方法论的提高上大有裨益，只有建立了大学科的观念，了解“线性系统理论”在其中的定位，才能做到相辅相成，将系统论、控制论知识灵活运用到解决工程实际问题中去[5]。

1.3基础性与专业性相结合的教学内容

在通信专业相关数学基础的章节中，加强对数学和符号在通信专业应用中物理意义的解释。例如矩阵运算Y=AX中Y的元素yi可理解为接收到的信号或观测结果，X的元素xi可理解为发射信号。在无线通信系统中，发射机/接收机是成对出现的，第i个发射机希望仅仅被第i个接收机接收，而其它接收机误收到的信号越小越好。假设此时是点对点的手机通信，则希望主对角元素大，即有用信号功率大，其它位置很小或为0，干扰功率小，从数学形式上看A阵表现为接近对角阵。矩阵的分块对角结构对应通信子系统的并联。矩阵的求逆运算则是从接收端再现出发射信号，使得有效通信成为可能。

在线性系统模型章节中，由于实际应用中绝大部分对象很难通过运动机理推导出数学模型，考虑到通信和电子系统中最常见的信号包括正弦波、伪随机序列和阶跃信号等，这就需要从实测的数据，依靠实验的方法或数值手段重构出数学模型。授课过程中使用这种辨识实验或仿真工具获得传递函数模型的方法，一方面扩大了非控制专业学生的知识面，为工程中的系统建模提供了新的思路，另一方面避免了复杂的演算过程，谨防学生陷入数理困境，从而产生厌学和畏难情绪。

在状态方程求解章节中，学生要熟练掌握解的基本形式，并为后续章节多个定理证明和应用打好基础，但我们不能局限于解方程，解的存在性与能量有关，有助于更好地描述系统的性能指标，考虑能耗才能更贴近实际应用，而解的形式揭示了一般系统的运动规律，系统的结构参数决定了其具体运动模式，如两个积分器组成的反馈回路通过设置适当的初始条件，即可构成常用的谐波振荡器。由于受控项的存在，使得有可能通过设计控制规律来改善系统内部变量的运动行为和性能，避免过程不平稳，使得状态轨迹满足要求。

在稳定性分析章节中，传统教学内容集中于BIBO稳定、Lyapunov稳定、渐近稳定、指数稳定和大范围一致渐近稳定等概念，却忽略了应用背景。为此，教学过程中增加了基于Lyapunov方程的系统快速性估计方法；工程中镇定问题求解；优化问题求解，将经典控制论中的稳准快指标归结为二次型积分性能指标，并根据Lyapunov定理构造相应的能量函数和速度函数，最终解代数方程组即获得最优解，同时保证了系统的渐近稳定性；采用试凑法，限制系统的反馈结构，推导出计算高效的Riccati方程，普适性优于传统的特征值和Routh判据法。

在能控性和能观性分析章节中，注重结构完整性和概念明确性，将激励信号和系统设计的知识有机结合在一起。

能控性是探讨实践主体改造实践客体、克服不确定性，使系统能够转移变换、实现信息按照指定要求“传输”的可能性，关心系统未来时间的行为[6]。

能观性是探讨认识主体对客体是否具有“穿透”能力，通过信息通道及其容量和技术手段，能否收集和处理系统内部状态信息，进而确定内部状态，关心系统过去的知识。

能控性和能观性反映了改造与认识活动中主体和课题的辩证统一，均反映内在本质结构属性，是实现系统综合与校正的必要条件。

在时域综合章节中，系统的综合和设计方案主要依靠状态反馈进行任意的极点配置，通过它可以实现解耦控制；也可以直接解决调节器问题；状态反馈并引入前馈增益解决渐近跟踪问题；根据参考信号的模式构造增广矩阵解决伺服机问题。状态反馈是一种全息方案，然而，系统信息往往并不能全部获得时，输出反馈或动态补偿器和观测器就能发挥作用。为适应现代MIMO通信技术的发展，补充了多变量频率域法的数学基础、零极点概念及基本的系统设计方法。

信息处理的宗旨在于如何处理接收到的外部信号，这些信号不可控，再加上实际系统存在着干扰和噪声，必然影响输出与设定值之间的误差[7]。从这个意义上说，信息系统设计符合线性系统的两个基本规律即内模原理和不变原理(设计控制率使外部干扰对跟踪误差的影响最小化或小于指定值)。

在组织教学内容时，将线性系统理论知识与信息处理知识结合在一起，注重理论知识在通信系统中的解释和应用，充分体现出专业特色，激发学生的学习热情。

2 结合专业案例的教学实践

目前经典的线性系统案例包括倒立摆、电机调速、高超声速飞行器、水箱液位和起重机行车控制等，这些案例从控制、机械甚至力学等专业角度出发，对学习课程相关知识起重要作用，但与通信、电子直接相关的案例在各大教材及授课过程中并不多见。

锁相环(PLL)是通信系统里常见的相位反馈电路系统，在调制解调、频率合成、信号跟踪与同步、中远程导弹定点发射等技术中都得到广泛应用。PLL由鉴相器(PD)、环路滤波器(LF)和压控振荡器(VCO)三部分组成，其线性化相位模型如图1所示，θi(t)表示输入信号相角,θo(t)表示输出信号相角，φ(t)表示输入信号与输出信号的相差，Kp为环路增益，H(s)为LF的传递函数，积分环节是环路中的VCO[8-9]。

图1 PLL线性化相位模型

设计PLL的目的是当其处于锁定状态时，使受控振荡器VCO的频率和相位均与输入信号保持确定的关系，这是一个线性系统中渐近跟踪的基本问题，此外，实际系统中往往存在着干扰信号，大大影响其跟踪性能，必须设计滤波器或补偿器将其抑制。

如果明确了被控对象G(s)，输入信号r(t)，输出信号y(t)，干扰信号w(t)，上述PLL设计及补偿问题就可以转化为图2所示的PLL跟踪与干扰抑制的无静差补偿器φ-1(s)和镇定补偿器C(s)的设计问题，这可以借助线性系统的相关理论进行解决。

根据线性系统理论知识，PLL的有理分式数学模型满足互质性，即既可控又可观，满足极点配置和状态观测条件；经过状态反馈使得闭环系统极点在左半s平面合适的位置，即可实现系统镇定，且在指定时间内系统的瞬态响应分量趋于0；控制器中植入输入信号的“内模”，且引入单位负反馈，达到对输入信号的鲁棒跟踪，对受控对象和补偿器的参数摄动具有不敏感性；获悉干扰信号的结构特性模型，其不稳定极点与PLL的零点不构成对消，同样将“内模”植入，达到输出端干扰信号被滤除的作用。

图2 PLL跟踪与干扰抑制流程图

根据线性系统理论知识，可配置的闭环极点数目为m+n个，根据稳定性要求及快速性指标设定极点的取值，并将之展开可得闭环特征多项式的表达式F(s)=Fn=msn+m+…+F1s+F0，最后通过求解如下的代数方程得到镇定补偿器C(s)的各个系数，式中T表示转置运算[10]。

搭建上述系统的仿真平台，输入输出的对比结果通过示波器显示，图3示出了仿真结果，其中横坐标为时间，纵坐标为电压幅度，-----线表示要跟踪的信号，.....线表示直接使用PLL的输出，实线则表示加入设计的补偿器后系统的输出响应。可以看到，引入补偿器后，经过t=8s的过渡过程，输出信号完全与要跟踪信号吻合，即实现对输入信号的稳定跟踪，且干扰信号不再出现在输出端，达到鲁棒跟踪和干扰抑制的效果。

图3 补偿前后系统的跟踪结果示意图

应用线性系统理论对PLL电路进行学习，体现了系统的观点(闭环系统跟踪信号)、内因(植入内模)外因(抑制干扰)的观点、事物相互作用相互联系(补偿器-对象-反馈连接)的观点，提高了学生的基础理论能力和对实际工程系统的分析和设计能力。

3 结语

“线性系统理论”在信息类课程中占据着至关重要的位置，针对电子通信专业教学中存在的认识偏差、专业定向不明确和案例陈旧等问题，本文践行信息类“大学科观念”，引入合适的专业案例，强调基础性与专业性的有机结合，更新了教学内容。教学实践表明，本文的教学改革有效提升了学生对信息类知识的系统化理解，提高了教学效率和教学质量。

值得一提的是，课程改革受到了学生的普遍欢迎和肯定。学生在课后的教学反馈中提到“该课程深入浅出、受益匪浅”、“思路很清晰、理论与实际工程专业相结合”、“概念准确、有重点、有实际案例”、“内容丰富、注重互动、语言风趣”、“收获很大”。与工程专业相结合的“线性系统理论”课程建设成果发挥了积极的借鉴和示范意义。

[1] 张冬梅, 王辛刚, 孟莉. 研究生课程《线性系统理论》的改革与实践[J]. 长春:高教研究与实践, 2014, 01:56-59

[2] 齐晓慧, 王永川, 董海瑞. 研究生“线性系统理论”课程教学改革与实践[J]. 北京:中国电力教育, 2010, 32:82-84

[3] 薛文涛, 曾庆军, 王玉龙, 徐绍芬. 基于行业特色的“线性系统理论”教学改革与实践[J]. 北京: 中国电力教育, 2012, 29:58-59+69

[4] 曹赛先. 一流大学的大学科观[J]. 长沙:当代教育论坛, 2004, 01:75-77

[5] 高飞, 马飞, 张有光, 赵海云, 郭媛媛. 面向留学生的自动控制原理教学改革[J]. 南京:电气电子教学学报, 2014, 36(6):74-77

[6] 胡立坤, 徐辰华, 吕智林. 现代控制理论基础[M]. 北京: 科学出版社, 2014年6月

[7] 石海彬. 现代控制理论[M]. 北京: 清华大学出版社, 2015年12月.

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[10] Chi-Tsong Chen. Linear System Theory and Design[M]. New York: Oxford University Press, 1999:273-275

TeachingReformofLinearSystemTheoryCombinedwithEngineeringSpeciality

GAOFei,YUEZhen-yu,WANGJun,ZHANGYou-guang,ZHUHe

(SchoolofElectronicandInformationEngineering,BeihangUniversity,Beijing100191,China)

According to the characteristics of the Linear System Theory course for graduate students majored in electronic and communication, this paper puts forward a reform program which is combined with the project examples from the points of curriculum system, teaching method and case selection. The Linear System Theory teaching, integrated with other relevant courses, guides students to establish the discipline idea. Then, we highlight the role of linear system theory in solving practical problems by improving the tracking performance of phase locked loop (PLL). It is shown that the teaching reform improves the students′ ability of engineering analysis and application.

linear system theory; teaching reform; phase locked loop

2016-09-24;

2016-11-06

北航研究生教育与发展研究专项基金(No.4002028)；北京航空航天大学校级重点教改项目

高 飞(1975-)，男，博士，副教授，主要从事数字图像融合与处理、运动目标检测和机器学习等方面的教学与科研工作，E-mail：feigao2000@163.com

TM1-53

A

1008-0686(2017)05-0021-05