关于Neuman-Sándor平均的三个最佳不等式

马 萍 ， 杨月英

(湖州职业技术学院 机电与汽车工程学院， 浙江 湖州 313000)

关于Neuman-Sándor平均的三个最佳不等式

马 萍 ， 杨月英

(湖州职业技术学院 机电与汽车工程学院， 浙江 湖州 313000)

给出了Neuman-Sándor平均关于第二类反调和平均与算术平均的最佳不等式，所得结论加强了已知结果。

第二类反调和平均； 算术平均； Neuman-Sándor 平均

一、引 言

对于p∈，a,b>0且a≠b，Neuman-Sándor平均M(a,b)[1]253-266 [2]49-59和p阶Lehmer平均Lp(a,b)[3]183-200定义为

(1)

Lp(a,b)=(ap+1+bp+1)/(ap+bp)

(2)

一般地，p阶Lehmer平均Lp(a,b)对于p∈和固定的a,b>0且a≠b是连续且严格单调递增的。特别地，L-1(a,b)=H(a,b)=2ab/(a+b)是调和平均，L-1/2(a,b)=G(a,b)=是几何平均，L0(a,b)=A(a,b)=(a+b)/2是算术平均，L1(a,b)=C(a,b)=(a2+b2)/(a+b)是第一类反调和平均和L2(a,b)=D(a,b)=(a3+b3)/(a2+b2)是第二类反调和平均。设a,b>0且a≠b，则第一类Seiffert平均P(a,b)和第二类Seiffert平均T(a,b)分别定义为

对于上述这些平均有以下不等式：

H(a,b)

(3)

对所有a,b>0且a≠b成立。

近年来，Neuman-Sándor平均得到了深入的研究，数学工作者们从Neuman-Sándor平均M(a,b)发现了许多重要不等式[4] [5] [6] [7]567-577 [8] [9] [10] [11]。Neuman和Sándor[1]253-266 [2]49-59证明了不等式

对所有a,b>0且a≠b时成立。

在文献[12]637-643中Neuman证明了双向不等式

Cλ1(a,b)A1-λ1(a,b)

λ2C(a,b)+(1-λ2)A(a,b)

对所有a,b>0且a≠b成立的充要条件是：

在文献[13]14-16 [14]299-302中作者发现了最佳参数α1,α2,β1,β2∈(0,1)使得双向不等式

α1D(a,b) +(1-α1)A(a,b)

对所有a,b>0且a≠b时成立。

杨月英等[15]207-217找到了最大值α1，α2和最小值β1，β2使得双向不等式

α1D(a,b) +(1-α1)G(a,b)

对所有a,b>0且a≠b时成立。

在文献[16]中,钱伟茂等证明了双向不等式

对所有a,b>0且a≠b成立的充要条件是：

从不等式(3)得到如下定理1.1、1.2和1.3。

定理1.1 双向不等式

α1D(a,b) +(1-α1)A(a,b)

(4)

定理1.2 双向不等式

Dα2(a,b)A1-α2(a,b)

(5)

定理1.3 双向不等式

(6)

二、引 理

为证明定理1.1-1.3，需要以下五个引理。

引理2.1 参见文献[17]中定理1.25，对于-∞

在(a,b)内也单调递增(递减)。当f'(x)/g'(x)是严格单调时，那么上式也是严格单调的。

引理2.3 函数

(7)

(8)

其中

(9)

从等式(9)得

(10)

对所有n≥0成立。注意到

(11)

所以，容易从引理2.2和(8)～(11)式得到引理2.3。

引理2.4 函数

(12)

证明：设φ1(t)=ln[sinh(t)/t],φ2(t)=ln[1+3sinh2(t)]-ln[1+sinh2(t)]。简单计算得到

(13)

(14)

其中

(15)

由式(15)得

(16)

对所有n≥0成立。

(17)

所以，容易从引理2.1和等式(13)和(17)协同函数φ'1(x)/φ'2(x)的单调性得到引理2.4。

引理2.5 函数

(18)

(19)

其中

(20)

由式(20)得

<0

(21)

对所有n≥0成立。注意到

(22)

所以，容易从引理2.2和(19)～(22)式得到引理2.5。

三、定理的证明

定理1.1的证明：因为D(a,b),A(a,b)和M(a,b)是对称和一阶齐次的，不失一般性，假设a>b>0。设x=(a-b)/(a+b)，那么x∈(0,1)。则有

(23)

将(4)式变形为

(24)

利用等式(23)，不等式(24)可变形为

(25)

α1<Φ(t)<β1

(26)

其中，函数Φ(t)定义在引理2.3。

根据引理2.3协同不等式(24)-(26)，可以得到不等式(4)成立的充要条件是：

定理1.2的证明：不失一般性，假设a>b>0。设x=(a-b)/(a+b)，那么x∈(0,1)。将(5)式变形得

(27)

利用等式(23)，不等式 (27)可变形为

(28)

α2<φ(t)<β2

(29)

其中，函数φ(t)定义在引理2.4。

根据引理2.4协同不等式(27)-(29)，可以得到不等式(5)成立的充要条件是：

定理1.3的证明：不失一般性，假设a>b>0。记x=(a-b)/(a+b)，那么x∈(0,1)。将(6)式变形为

(30)

利用等式(23)，不等式(30)可变形为

(31)

α3<γ(t)<β3

(32)

其中，函数γ(t)定义在引理2.5。

根据引理2.5协同不等式(30)-(32)，可以得到不等式(6)成立的充要条件是 ：

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ID 932061,11 pages.

ThreeOptimalInequalitiesforNeuman-SándorMean

MA Ping , YANG Yue-ying

(School of Mechanic Electronic & Automotive Engineering, Huzhou Vocational and Technological College, Huzhou 313000, China )

In the article, we present optimal inequalities for the Neuman-Sándor means in terms of the sencond contra-harmonic and arithmetic means. The given results are the improvements of some known result.

second contra-harmonic mean; arithmetic mean; Neuman-Sándor mean

2017-01-09

本文系2016年度湖州职业技术学院教改课题“基于自动化类专业课的《应用数学基础》课程教学研究”(2016xj26)的成果。

马 萍(1963-)，女，浙江临海人，副教授，主要从事解析不等式研究；杨月英(1979-)，女，湖南益阳人，副教授，计算数学硕士，主要从事解析不等式研究。

0151.25

A

1672-2388(2017)03-0069-05