Sándor平均的Lehmer平均界及其应用

钱 伟 茂

(湖州职业技术学院 远程教育学院, 浙江 湖州 313000)

Sándor平均的Lehmer平均界及其应用

钱 伟 茂

(湖州职业技术学院 远程教育学院, 浙江 湖州 313000)

通过研究发现了最大值λ和最小值μ,使得双向不等式Lλ(a,b)0且a≠b成立。其中X(a,b)和Lp(a,b)分别是Sándor平均和p阶Lehmer平均。作为应用，推导出了几个涉及双曲函数、三角函数和反三角函数的精确不等式。

Sándor平均；p阶Lehmer平均；双向不等式

一、前 言

设p∈和a,b>0且a≠b，则p阶Lehmer平均Lp(a,b)[1]183-200定义为：

(1)

众所周知，p阶Lehmer平均Lp(a,b) 对于固定的a,b>0且a≠b，关于p∈是严格单调递增的。许多对称二元平均是p阶Lehmer平均的特殊情形。例如：L-1(a,b) =2ab/(a+b)=H(a,b) 是调和平均，L-1/2(a,b)==G(a,b)是几何平均，L0(a,b)=(a+b)/2=A(a,b)是算术平均等。

设a,b>0且a≠b，P(a,b) =(a-b)/[2arcsin((a-b)/(a+b))]是第一类Seiffert平均，则Sándor平均X(a,b)[2]409-413定义为：

X(a,b)=A(a,b)eG(a,b)/P(a,b) -1

(2)

2014年，Sándor[3]1-9得到了以下不等式：

对所有a,b>0且a≠b成立，其中L(a,b)=(a-b)/(lna-lnb)是对数平均。

杨镇杭和周爽爽等[4] [5]证明了双向不等式：

M1/3

钱伟茂等[6]证明了双向不等式：

α1A(a,b)+(1-α1)H(a,b)

α2A(a,b)+(1-α2)G(a,b)

H[α3a+(1-α3b)+(1-α3a)]

G[α4a+(1-α4b)+(1-α4a)]

本文的主要目的是寻找并证明最大值λ以及最小值μ，使得双向不等式:

Lλ(a,b)

对所有a,b>0且a≠b成立。

二、主要结果

定理1 双向不等式：

Lλ(a,b)

对所有a,b>0且a≠b成立当且仅当λ≤-1/3且μ≥0。

证明：根据Lp(a,b)和X(a,b) 是对称且一阶齐次的，不失一般性，假设a=x>1且b=1。设p∈，则从(1)式和(2)式可得：

(3)

设

(4)

简单计算得：

F(1+)=0

(5)

(6)

其中：

(7)

(8)

其中：

f(x)=3x4p+3+x4p+2-p(2p-1)x3p+4+(2p2+9p+7)x3p+3+(2p2-5p+2)x3p+2

-(2p2+5p+1)x3p+1+px2p+4+(14p+5)x2p+3-(14p+5)x2p+1-px2p

+(2p2+5p+1)xp+3-(2p2-5p+2)xp+2-(2p2+9p+7)xp+1+p(2p-1)xp-x2-3x

(9)

现分四种情形进行证明。

情形1：当p=-1/3时，则(9)式变成：

(10)

等式(6)-(8)和(10)导致的结果是函数F(x)在区间(1,∞)严格单调递增。

所以，可从(3)-(5)式和函数F(x)的单调性得到：

X(a,b)>L-1/3(a,b)。

情形2：当p>-1/3时，设x>0和x→0，从(1)式和(2)式协同Taylor展式给出：

(11)

等式(11)意味着存在充分小的δ1=δ1(p)使得

X(1,1+x)

对所有x∈(0,δ1)成立。

情形3：当p=0时，则从(9)式得到：

f(x)=16x(x2-1)>0

(12)

对所有x>1成立。

所以，容易从(3)-(8)和(12)式得到：

X(a,b)

情形4：当p<0时，从(1)式和(2)式可得：

(13)

等式(13)意味着存在充分大的X1=X1(p)>1使得

X(x,1)>Lp(x,1)

对所有x∈(X1,+∞)成立。

三、应 用

应用定理1可得四个涉及双曲函数、三角函数和反双曲函数的精确不等式。

设a>b>0和x=arctanh[(a-b)/(a+b)]=(lna-lnb)/2∈(0,+∞)。经过简单计算可得：

(14)

根据(14)式和定理1可得定理2。

定理2 双向不等式

对所有x∈(0,+∞)成立,当且仅当λ≤-1/3且μ≥0。

设a>b>0和x=arcsin[(a-b)/(a+b)]∈(0,π/2)。容易得到：

(15)

从(15)式和定理1可得定理3。

定理3 双向不等式

对所有x∈(0,π/2)成立,当且仅当λ≤-1/3且μ≥0。

设a>b>0和x=arctan[(a-b)/(a+b)]∈(0,π/4)。经过简单计算得到：

(16)

(17)

从(16)和(17)式协同定理1可得定理4。

定理4 双向不等式

对所有x∈(0,π/4)成立当且仅当λ≤-1/3且μ≥0。

(18)

(19)

根据(18)式和(19)式协同定理1得到定理5。

定理5 双向不等式

[1] LEHMER D H.On the Compounding of Certain Means[J].J.Math.Anal.Appl.,1971(4).

[4] YANG Z H,WU L M,CHU Y M.Sharp Power Mean Bounds for Sándor Mean[J].Abstr.Appl.Anal.2014,Article ID 172867,2014.

[5] ZHOU S S,QIAN W M,CHU Y M,etc.Sharp Power-type Heronian Mean Bounds for the Sándorand Yang Mean[J].J.Ianequal.

Appl.，2015:159,2015.

[6] QIAN W M,CHU Y M,ZHANG X H.Sharp Bounds for Sándor Mean in Terms of Arithmetic,Geometric and Harmonic Means[J].

J.Ianequal.Appl.,2015:221,2015.

SharpLehmerMeanBoundsforSándorMeanwithApplications

QIAN Wei-mao

(School of Distance Education, Huzhou Vocational and Technological College, Huzhou 313000, China )

In the article, the authors find the greatest values λ and the least values μ such that the double inequalitiesLλ(a,b)0 witha≠b.HereX(a,b) andLp(a,b) are the respectively Sándor andp-th Lehmer means.As applications, we present several sharp inequalities involving the hyperbolic, trigonometric and invere trigonometric functions.

Sándor mean;p-th Lehmer mean; double inequalities

2016-12-12

本文系2013年度浙江省自然科学基金项目“拟双曲度量和拟共形映射的稳定性理论研究”(LY13A010004)，2015年度浙江广播电视大学科研课题“Schwab-Borchardt平均及其不等式”(XKT-15G17)的研究成果之一。

钱伟茂(1962-)，男，浙江海宁人，教授，主要从事拟共形映射、特殊函数和平均值理论研究。

O174.6

A

1672-2388(2017)03-0065-04