数学归纳法证题步骤及简单技巧

李欢

摘 要 归纳法是人们在日常生活中使用的由特殊到一般的推理方法。 由这种方法所导出的结论不一定是正确的， 但我们往往不会因为有这一缺陷而放弃对它的使用。 相反， 当我们得出了一个错误的结论时也并不为之感到震惊。

关键词 数学归纳法 证题步骤 技巧

中图分类号：O122.7 文献标识码：A

在纯数学当中，若干特殊的数字对于无限的集合N或Z来说，意义并不十分重大，尽管使用归纳法可得到正确的结论，但它并不是被证明了的结论，而仅仅是证明时可以依据的一个事实或规律。所以，我们要借助更为高明的方法—数学归纳法来证明。

数学归纳法的原理的形式有很多种，在此我们只给出与中学数学内容有关的形式及其变形，并揭示它的逻辑结构。

形式：设P（n）是关于自然数n的命题，若① P（1）成立；② n∈N， ，若P（n）成立 →P（n+1）成立，则P（n）对 n∈N都成立。

变形：设P（n）为自然数n的命题，若① 若P（n0）成立（n0∈N）； ② n∈N， n≥n0，若P（n）成立→P（n+1）成立。则P（n）对 n∈N， n≥n0都成立。

根据数学归纳法原理的形式，我们在证明有关的自然数命题时可相应地按照以下两个步骤来进行：

①验证P（1）是成立（奠基步骤）；

②假设P（n）成立，导出P（n+1）也成立（归纳步骤）。

1数学归纳法的证题步骤

数学归纳法是数学证明的重要工具，常用于证明与自然数有关的数学命题。 不管是第一数学归纳法还是第二数学归法，它们都有规范的两个步骤。有人称之为归纳奠基和制造递推工具。

（1）归纳奠基（“1”对）：归纳奠基就是对n的初始值验证命题的正确性。数学教科书上的说法是：验证n取第一个值时命题正确。但在有的情况下，仅验证一个初始值是不够的。为此，我们来看一个悖论的悖证。

悖论：任何n条线段一样长。

悖证：（1）n= 1时，命题为 “任何一条线段一样长”，这显然是正确的。

（2）假设n=k时命题正确，即 “任何k条线段一样长”，则n=k+ 1时，记k+1条线段为1，2，…，k，k+1，由假设1，2，…，k一樣长， 2，…，k，k+1一样长，它们都和2一样长，所以这K + 1条线段一样长。根据归纳原理，命题获证。

这个结果显然是荒谬的。其原因是1，2，…，k和 2，…，k，k+1之间不一定有一个公共的i（看一下K= 1的情况）。

由上可见，在使用数学归纳法时，除了要注意第二步即递推过程外，更要注意第一步即 “奠基”步，要根据第二步的要求正确 “奠基”，否则将会因 “基石”不稳而的出错误的结论。

（3）制造递推工具（ “k对” “k+ 1对”）。

归纳假设之后，把“k对”作为已知条件去推证“k+ 1对”，实际上是从理论上论证递推的有效性（制造使递推得以进行的工具）。这与普通的数学证明已无大的区别。故形式上可以以多种多样（综合法， 分析法 ，反证法等），而论证时要求逻辑严谨（运用演绎推理），并正确使用归纳假设。

2数学归纳法的证题技巧

2.1起点的偏移（前移或后移）

证某些对任意自然数都成立的数学命题时，可以把归纳奠基从n=1前移到n= 0 ， 这是为了简化第一步。如证明+cos +cos2 +…–cosn =时，就n = 0验证，比起就 n= 1去验证=要容易得多。又如证明能被13整除时，若把起点从 n= 1前移到n =0， 立即可知此时结论成立。

起点的后移往往为了降低第二步的难度。这样做虽有时加大了第一步的难度，却为第二步的证明探索了路径。例如证明 ， 如果把起点从 n= 1后移到 n= 2，证得=， 就为证明第二步探索了路径（当然要补证n=1时命题成立）。

2.2大幅度跳跃

跳跃在数学归纳法中是经常出现的。例如证n是正奇数时an+bn能被a+b整除， 证F数列中F4n能被3整除，都有跳跃。又如证一正方形都可分成n （n≥6 ）个正方形，可以先验证n= 6 ，7 ，8时命题正确， 再证 “K对 K+ 3对”。其（下转第211页）（上接第171页） 第一步如图；在第二步，只需在K对的基础上将其中某一正方形分为4个正方形既可。

可见，归纳法是一种推理方法，是重要的发现手段，它的结构是似真的，而数学归纳法则是一种演绎的方法，它的结论是真实的，两者属于不同的逻辑范畴，不能混为一谈。由归纳法而形成的，以假设的形式叙述出来的命题，我们往往用演绎法来 “证明”，数学归纳法也不是完全归纳法，但它与完全归纳有一定的联系，它的中心思想是：用有限的验证和一次逻辑推理，代替无限次的验证过程，实现从无限到有限的转化。

参考文献

[1] 韩景志.漫谈数学归纳法[J].数学通报，1997（07）：8-10.

[2] 孙宗明，梁凤鸣.命题逻辑与数学证明方法（Ⅱ）[J].泰山学院学报，2013，35（06）：4-10.endprint