基于挠度理论对悬索桥进行竖向偏心荷载作用下的求解

2017-11-09刘凯园

四川建筑 2017年5期

关键词：加劲梁主缆悬索桥

刘凯园

(西南交通大学土木工程学院, 四川成都 610031)

基于挠度理论对悬索桥进行竖向偏心荷载作用下的求解

刘凯园

(西南交通大学土木工程学院, 四川成都 610031)

文章基于挠度理论，在挠度理论所作的各种假定前提下，推导并获得了在偏心荷载作用下，加劲梁的扭转变形微分方程组，并介绍了求解方法和步骤。以一座悬索桥为例，分别采用挠度理论和有限元方法进行求解，并对两种计算方法的结果进行了比较，发现采用挠度理论在计算扭转变形方面保持了足够的计算精度。

挠度理论；扭转变形；有限元法

大跨度悬索桥在扭转荷载或偏心荷载作用下，加劲梁将作为主要的受力构件。扭转荷载是由于荷载的偏心产生的，即荷载作用线不经过横截面的剪切中心[1]。以往计算偏载效应的方法是应用杠杆原理将竖向偏载分配到两侧吊杆，然后分别对两侧作竖向的平面结构分析，或者将竖向荷载乘一个考虑偏载效应的放大系数，只作一个平面结构分析，不进行扭转分析，这种方法没有对结构抵抗扭矩的截面特性作出要求。

1 挠度理论

挠度理论[1-2]的一般假定为：(1)恒载沿跨度均匀分布，无活载状态下主缆线型为抛物线；(2)加劲梁沿跨度等直；(3)吊杆假设为均匀分布的膜；(4)所有材料符合胡克定律(图1)。

图1 挠度理论采用的模型

在上述的假定下，主缆在恒载状态下的线形方程为：

如果在上述四个假定的基础上，不考虑吊杆的伸缩和倾斜，也不考虑主缆的纵向水平位移，忽略加劲梁的剪切变形，在外荷载p的作用下，荷载集度由qc变为qp，加劲梁和主缆产生的竖向挠度为v，主缆的水平拉力由Hq变为Hq+Hp，假设加劲梁的EI常数，可以得到加劲梁的平衡方程为：

EIviv-(Hq+Hp)v″=p(x)+Hpy″

上式就是古典挠度理论的平衡微分方程，该方程是非线性的，有两个未知数即Hp和v，还需要一个方程才能进行求解，挠度理论的缆索相容方程为：

2 扭转理论

在竖向偏载作用下(图2)，加劲梁的平衡方程为：

图2 偏载作用下加劲梁断面位移

式中：Hp是竖向挠度为v时的活载缆力；HL和HR分别为加劲梁扭转引起的左右主缆的附加水平拉力，它们两个相对于Hp和Hq小很多，可以认为有关系为HL=-HR。可以看出来v和θ呈现出了非线性耦合关系。

应用闭口截面薄壁杆件乌曼斯基约束扭转理论，获得关于加劲梁扭转角的微分方程[3]如下：

上式中有四个未知量，分别为竖向挠度v、加劲梁扭转角θ、活载引起的主缆水平分力Hp和加劲梁扭转引起的主缆附加水平分力HL。另外左右主缆的相容条件方程为：

建立这样的方程考虑了加劲梁的扭转角θ与竖向挠度v的非线性耦合。上述四个方程四个未知量，该方程是一个高阶的非线性耦合的方程组，目前还没有一个好的方法来进行求解。下面将对方程进行一定的近似简化，并进行求解。

如果扭转角θ和挠曲v之间的耦合不是很显著的话，将扭转角θ和加劲梁的挠曲v认为是独立的，bHLv″是小量而可以忽略不计，从而有：

EIviv-(Hq+Hp)v″=p(x)+Hpy″

EIviv-Nvv″=qv

采用等代梁法[4-7]对上面两式进行求解，假设在梁上作用均布荷载，那么上面两个方程的解为：

迭代的基本流程如下图3所示。

图3 迭代求解基本流程

3 实例介绍

以某大跨度悬索桥为实例，分别采用挠度理论和有限元法来研究悬索桥的静力扭转特性。该桥是主跨1 700 m的单跨悬索桥，主桁为华伦式桁架，主跨的矢跨比为1/9，主跨缆索的矢度为188.889 m，主桥总体布置如图4所示。挠度理论和有限元法计算需要的参数见表1。

表1 结构参数

图4 主桥总体布置(单位:m)

该桥荷载等级是城市A-级，上层桥面6车道，下层桥面4车道，计算时，荷载除了考虑自重之外，只是计入车道荷载。各个荷载工况如表2所示，在多线车道荷载加载的时候考虑了横向和纵向的折减。

4 有限元法求解

相比于有限元方法，由于挠度理论采用了各种理想化的假设，因此计算的结果会有较大的误差，尤其是在悬索桥的跨度较大的情况下，因此有必要运用有限元的方法进行计算求解，与挠度理论的计算结果做一个比较。这里采用有限元分析软件Ansys建立了全桥分析模型(图5)。

工况1与工况2、工况3与工况4、5、6、工况7与工况8竖向荷载合力大小是相等的，图6显示求出的加劲梁的挠度基本上一致的。工况1与工况7的扭转大小相等，图7显示求出来的扭转变形一致。这说明了扭转变形与竖向变形之间是相互独立的，进一步证明了采用挠度理论计算偏载荷载下结构的响应，将扭转变形和竖向变形分开并独立进行分析是合理的。

表 2 荷载工况

图5 全桥有限元分析模型

图6 加劲梁竖向挠度

图7 加劲梁扭转变形

5 挠度理论与有限元法计算结果对比

从图8和表3可以看出，对于竖向挠度的计算，有限元法和挠度理论的计算结果有较大的差异，在跨中位置处，两者的比例最大达到了2.53。而图9和表4则显示了两种方法求得的扭转角的计算结果比较接近，两者的最大比例为1.32。造成这样的结果可以这样理解：由于在挠度理论中为简化计算而做出了一些假定，忽略了主缆的纵向水平位移以及吊杆的倾斜和拉伸，有计算结果表明，主缆在靠近桥塔位置处会发生较大的指向跨中位置的水平纵向位移，并且由桥塔到跨中逐渐减小为零，加劲梁与缆索之间的位移协调导致了有限元求得的加劲梁竖向位移要大于挠度理论的计算结果，而在计算加劲梁的扭转变形方面，横截面的计算是根据加劲梁两侧桁架的竖向位移差除以桥面宽度获得的，正好抵消了由于主缆纵向位移导致的加劲梁竖向位移的增大，因此两种计算方法的结果比较接近。