地下结构抗震计算中地基反力弹簧刚度取值方法研究

杨 飞， 董新勇， 周沈华， 黄余冲， 闫刘学， 刘 乐

(1.西安市地下铁道有限责任公司，陕西西安 710018； 2.长安大学建筑工程学院，陕西西安 710061)

地下结构抗震计算中地基反力弹簧刚度取值方法研究

杨 飞1， 董新勇2， 周沈华1， 黄余冲2， 闫刘学2， 刘 乐2

(1.西安市地下铁道有限责任公司，陕西西安 710018； 2.长安大学建筑工程学院，陕西西安 710061)

地震系数法及反应位移法中土体-地下结构体系均简化为荷载-结构计算模型，利用模型中的地基反力弹簧刚度参数代替地铁地下结构周围岩土介质，地基反力弹簧刚度参数能否正确取值关乎到能否正确模拟岩土介质。为了使地基弹簧系数取值简单方便、精确可靠，文章基于有限元分析法，研究截面高度、顶板埋深、底板与基岩距离、截面宽度、地基土的弹性模量、泊松比、粘聚力、内摩擦角与地基反力弹簧刚度参数之间的关系，由有限元分析结果为数据依据，对地基反力弹簧参数公式进行拟合。提出考虑了多种影响因素的地基反力弹簧刚度综合建议公式，并通过振动台试验震害现象分析及时程分析验证了综合建议公式的可靠性。

地震系数法； 反应位移法； 地基反力弹簧刚度； 限元分析法； 时程分析法

周围岩土介质在地震中对地下地铁车站的影响是不容忽略的[1]。周围土体不仅对结构有作用力，还会对结构起到约束作用并使其共同受力。地下地铁车站抗震计算一般采用两种模型：(1)土体-结构整体模型，建模时建立结构及场地的整体模型并共同受力，主要用于动力有限元时程分析。(2)荷载-结构模型，建模时只建地下地铁车站，不建立地基。地下地铁车站简化为规则框架截面，周围岩土介质对地下地铁车站的作用简化为地下地铁车站周围的地基弹簧，常用于地下地铁车站拟静力计算中。

荷载-结构模型简明方便，利于一般技术人员操作，在地下地铁车站拟静力抗震计算中应用较普及。该计算模型中地基反力弹簧刚度参数的取值对计算结果有直接影响。但针对地基反力弹簧刚度的取值方法研究较少，相关研究也没有统一结论。

采用试验及数值模拟可较准确地得出地基反力弹簧刚度，但过程复杂，耗时较长，不适宜应用于实际工程。而日本规范[2]提出的体型修正系数法及陶连金[3]提出的板宽修正法，虽然给出了推荐公式，应用方便，但其只考虑了土体弹性模量及车站尺寸对地基反力弹簧刚度的影响，并未考虑车站埋深及土体泊松比等其它特性指标的影响。本文通过数值模拟和对比分析，研究孔洞高度、顶板埋深、底板与基岩距离、孔洞宽度、地基土的弹性模量、泊松比、粘聚力、内摩擦角与地基反力弹簧刚度的关系，并拟合出地基反力弹簧参数的综合建议公式，对地铁地下结构的抗震计算提供可靠参考。

1 地基反力弹簧刚度参数的取值方法

1.1 体型修正法

日本铁路抗震设计规范[2]建议地基反力弹簧刚度参数采用式(1)～式(4)确定，由于此法计算地基反力弹簧刚度时考虑了底板宽度及侧墙高度的影响，称该法为体型修正法。

(1)顶板、底板下土层的竖直反力系数：

(1)

式中：KV为竖直方向地基弹簧刚度(kN/m3)；ED为土体的动变形模量(kN/m2)；BV为底板宽度(m)。

(2)侧面土层的水平反力系数：

(2)

式中：KH为水平方向地基弹簧刚度(kN/m3)；ED为土体的动变形模量(kN/m2)；BH为侧墙高度(m)。

(3)顶底板地基反力剪切弹簧刚度：

KSV=KV/3

(3)

(4)侧墙地基反力剪切弹簧刚度：

KSH=KH/3

(4)

土体的变形系数：ED=2(1+υ)G

式中：υ为土体泊松比；G为土体的动剪切刚度。

1.2 板宽修正法

板宽修正法由陶连金等人[3]提出，该方法计算地基反力弹簧刚度时考虑结构底板宽度的影响。底板下土层的水平反力系数：

(5)

底板下土层的剪切反力系数同式(3)。

侧面土层的水平反力系数：

(6)

式中：frk为土的抵抗系数，取为1.0；αs为侧向修正系数，取为1.0。

侧面土层的剪切反力系数同式(4)。

1.3 有限元法

GB 50909-2014《城市轨道交通结构抗震设计规范》[4]建议采用有限元法计算地下结构地基反力弹簧刚度。

1.3.1 方法一

计算模型如图1所示。土体的宽度取6倍至7倍的结构宽度，深度取到基岩面，只对土体进行有限元网格划分，不对地铁地下结构进行网格划分。计算结构顶板竖直方向地基弹簧刚度参数时，在洞口底面施加单位均布力δ，采用有限元法算出底面所有节点沿竖直方向的位移wi，则对应每个节点上的竖向反力系数为Ki=δ/wi，求各个节点反力系数均值，并将其均值作为底边法向的弹簧刚度。求切向地基弹簧刚度参数时，则施加切向力δ且测土体切向位移wi，其它侧面也可采用相同的方法。

1.3.2 方法二

计算模型同方法一，但施加的单位均布力δ替换为单位位移w，计算出对应面各点Ki=Ri/w的反力Ri，则对应每个节点上的地基反力系数为，求该面的所有节点反力系数均值，则为对应面的地基反力弹簧刚度参数(图1)。

(a) 弹簧刚度计算模型

(b)底面法向弹簧刚度模型

(c) 底面切向弹簧刚度模型图1 地下结构地基反力弹簧参数有限元计算模型

2 地基反力弹簧刚度的影响因素分析

2.1 结构高度的影响

采用有限元法，分别建立孔洞高度(车站截面高度)分别为5 m、10 m、14 m、20 m、25 m、30 m、35 m、40 m、45 m、50 m的模型。土体的泊松比取0.35，弹性模量取6×108Pa，有效摩擦角取26°，有效粘聚力取16 kPa，结构顶板埋深3 m，宽度19 m。分别在侧墙、底板或顶板位置处施加法向或切向单位均布力，通过计算可得各节点的位移，取其倒数的平均值作为模型的地基反力弹簧刚度参数。结构截面高度倒数与地基反力弹簧刚度参数的关系曲线如图2所示。

图2中Ki为地基反力弹簧刚度，i为1～6分别表示侧面法向、侧面切向、底面法向、底面切向、顶面法向、顶面切向的地基反力弹簧刚度。由图2可知，侧面法向与侧面切向的地基反力弹簧刚度参数K1、K2随着结构截面高度倒数增加而增加，即随着结构截面高度增加而减小。在结构截面高度倒数大于等于0.025，即结构截面高度小于等于40 m时，侧面法向与侧面切向的地基反力弹簧刚度参数K1、K2与结构截面高度的倒数近似成线性关系。

图2 地基反力弹簧刚度参数-结构截面高度倒数

底面法向与底面切向的地基反力弹簧刚度参数K3、K4随着结构截面高度倒数增加而减少，即随着结构截面高度增加而增加。底面法向与底面切向的地基反力弹簧刚度参数K3、K4与结构截面高度的倒数无明显的线性关系。顶面法向与顶面切向的地基反力弹簧刚度参数K5、K6随着结构截面高度增加并没有明显的变化，特别是顶面法向的地基反力弹簧刚度，在3.6×106～3.9×106Pa的变化范围内浮动。

2.2 结构底板与基岩距离的影响

由车站截面高度、埋深可得结构底板到基岩的距离，由此可得结构底板距基岩的距离倒数与地基反力弹簧刚度参数的关系曲线(图3)。

图3 地基反力弹簧刚度参数-结构底板与基岩距离的倒数

侧面法向与切向的地基反力弹簧刚度参数K1、K2随着结构底板与基岩之间距离的倒数增加而减小，即随着结构底板与基岩之间的距离增加而增加。侧面法向与切向的地基反力弹簧刚度参数K1、K2与距离倒数无明显线性关系。

底面法向与切向的地基反力弹簧刚度参数K3、K4随着结构底板距基岩的距离倒数增加而增加，即随着结构底板距基岩的距离增加而减少。底面法向与底面切向的地基反力弹簧刚度参数K3、K4与结构底板距基岩距离的倒数近似成线性关系。顶板法向与切向的地基反力弹簧刚度参数K5、K6随着结构底板距基岩距离的倒数增加而无明显的变化。

2.3 结构顶板埋深的影响

为了研究结构埋深对地基反力弹簧刚度的影响，建立车站顶板埋深分别为0.5 m、1 m、1.5 m、2 m、2.5 m、3.059 m、3.5 m、4 m、5 m、6 m、8 m的模型，通过有限元法，可得不同埋深模型的地基反力弹簧刚度参数。地基反力弹簧刚度参数与车站顶板埋深的关系曲线如图4所示。

图4 地基反力弹簧刚度参数-车站顶板埋深的倒数

由图4可知，侧面法向与切向、底面法向与切向及顶面法向与切向的地基反力弹簧刚度参数K1～K6均随着埋深的增加而增加，其中K5、K6斜率较大。分析发现，增加单位埋深，K1增加2 %～7 %，K2增加1 %～7 %，K3增加1 %～3 %,K4增加0.3 %～3 %，K5增加3 %～90 %,K6增加4 %～59 %。由此可见：孔洞顶板埋深对K3、K4的影响很小，且底板距基岩距离与顶板埋深为交互因素，即底板距基岩距离与顶板埋深相关,故底面法向及底面切向的地基反力弹簧刚度参数考虑了底板距基岩距离因素后可不考虑顶板埋深的影响。但顶板埋深对K1、K2、K5、K6的影响不可忽略。

2.4 结构截面宽度的影响

为了研究结构宽度对地基反力弹簧刚度的影响，分别建立截面宽度为10 m、13 m、16 m、19.2 m、22 m、25 m、28 m、30 m、35 m、40 m的车站模型，通过有限元法，可得不同宽度模型的地基反力弹簧刚度参数。地基反力弹簧刚度参数与结构截面宽度倒数的关系曲线如图5所示。

图5 地基反力弹簧刚度参数-结构截面宽度倒数

侧面法向地基反力弹簧刚度参数K1随着结构截面宽度倒数增加而减小，即随着结构截面宽度增大而增大。当结构截面宽度小于等于30 m时，K1随与孔洞高度的倒数成近似线性关系。侧面切向地基反力弹簧刚度参数K2随着结构截面宽度增加而无明显变化，其值在1.83×107～1.88×107Pa内浮动。

底面法向与切向地基反力弹簧刚度参数K3与K4随着结构宽度倒数增加而增加，即随着宽度增加而减小。当结构截面宽度小于等于30 m时，K3、K4与结构截面宽度的倒数成近似线性关系。顶面法向与切向地基反力弹簧刚度参数K5与K6随着结构截面宽度的倒数增加而增加，即随着结构截面宽度增加而减小。

2.5 土体弹性模量的影响

为了研究土体弹性模型对地基反力弹簧刚度的影响，分别建立土体弹性模量为4×104、1×108、2×108、3×108、4×108、5×108、6×108、7×108的模型，并进行有限元分析，得到地基反力弹簧刚度参数与土体弹性模量之间的变化关系(图6)。

图6 地基反力弹簧刚度-土体弹性模量关系曲线

由图6可知，结构侧面、底面及顶面的地基反力弹簧刚度K1～K6均随着土体弹性模量增大而增大，且其值均与土体弹性模量有显著的线性关系。

2.6 土体泊松比的影响

为研究土体泊松比对地基反力弹簧刚度的影响，分别建立土体泊松比为0.2、0.25、0.3、0.35、0.4、0.45及0.5的模型，根据有限元分析可得地基反力弹簧刚度与土体泊松比的关系曲线(图7)。

图7 地基反力弹簧刚度参数—土体泊松比关系曲线

由图7可知，结构侧面、底面及顶面的地基反力弹簧刚度K1～K6均随着土体泊松比的增加而增加。其中，K3的增加幅度显著大于其它部位地基反力弹簧刚度参数的增加幅度。

2.7 土体内摩擦角及粘聚力的影响

为研究土体粘聚力及内摩擦角对地基反力弹簧刚度的影响，分别建立不同土体粘聚力及内摩擦角的模型，并进行分析计算。结果表明：土体粘聚力和内摩擦角对地基反力弹簧刚度参数的影响规律不明显。

3 地基反力弹簧刚度综合建议公式推导

3.1 地基反力弹簧刚度关系函数

由于结构截面高度、结构底板与基岩的距离及地铁车站顶板埋深这三个因素存在交互作用，其中两个因素变化必然会导致第三个因素变化，因此，需归纳分析地基反力弹簧刚度参数的主要影响因素。

对比分析图2与图3可知，侧面法向与切向的地基反力弹簧刚度与结构截面高度的倒数有近似的线性关系，底面法向与切向的地基反力弹簧刚度与结构底板距基岩距离倒数有近似的线性关系。故结构截面高度为侧面地基反力弹簧刚度的主要影响因素，底板距基岩距离为底面地基反力弹簧刚度的主要影响因素。由图4可知，顶板埋深影响对顶面及侧面地基反力弹簧刚度的影响较大。将地基反力弹簧刚度影响因素归纳总结如下：

结构侧面地基反力弹簧刚度参数的影响因素有：结构截面高度(h)、宽度(b)、顶板埋深(d)、地基土的弹性模量(E)及泊松比(ν),则结构侧面的地基弹簧系数K1、K2可以表示为：

K1=α1f1(h)f1(d)f1(b)f1(E)f1(ν)

(7)

K2=α2f2(h)f2(d)f2(b)f2(E)f2(ν)

(8)

fi(α)为某因素与地基反力弹簧刚度的关系函数；i为1～6分别表示侧面法向、侧面切向、底面法向、底面切向、顶面法向、顶面切向的地基反力弹簧刚度。

结构底面地基反力弹簧刚度参数的因素有：底板与基岩距离(H)、结构截面宽度(b)、土体泊松比(ν)及弹性模量(E)。则底面地基反力弹簧刚度参数K3、K4可以表示为:

K3=α3f3(H)f3(b)f3(E)f3(ν)

(9)

K4=α4f4(H)f4(b)f4(E)f4(ν)

(10)

结构顶面地基弹簧系数的因素有：顶板埋深(d)、结构截面宽度(b)、土体的弹性模量(E)及泊松比(ν)。则顶面地基弹簧系数K5、K6可以表示为:

K5=α5f5(d)f5(b)f5(E)f5(ν)

(11)

K6=α6f6(d)f6(b)f6(E)f6(ν)

(12)

基于数学软件MATLAB进行拟合分析，可得结构侧面法向地基反力弹簧刚度K1与结构截面高度的拟合函数表达式：

式中的系数-7.136×107为其他因素(土体弹性模量等)的影响结果，故将其剔除出去。可得侧面法向地基反力弹簧刚度与车站截面高度的关系函数f1(h)：

(13)

式中h为车站截面高度。

同理，可得侧面切向地基反力弹簧刚度与车站截面高度的关系函数f2(h)：

(14)

底面地基反力弹簧刚度参数K3、K4与车站底板距基岩距离的关系函数：

(15)

(16)

式中：H为车站底板距基岩距离(m)；c1建议取1或1.1；c2建议取0.1～0.5。

其它因素与地基反力弹簧刚度的关系函数推导过程同上。

3.2 综合建议公式拟合

基于前文有限元分析结果及拟合分析，可以得到地下地铁车站结构的地基反力弹簧参数综合建议计算表达式如下：

(17)

K2= 2.696×10-6E(d3-6.912d2-450.422d-

ν)+1540

(18)

(19)

1.122×107

(20)

4.9×10-5](d3-7.373d2-223.914d+136.272)

(21)

0.00026](d3-18.856d2+149.856d+314.46)

(22)

Ki为地基反力弹簧刚度；i为1～6分别表示侧面法向、侧面切向、底面法向、底面切向、顶面法向、顶面切向的地基反力弹簧刚度。

对于结构截面宽度小于等于30m，高度小于等于30m，顶板埋深为3～3.5m时，结构地基反力弹簧刚度参数还存在如下关系：

K2=(0.85～0.9)K1

(23)

K4=(0.5～0.6)K3

(24)

4 综合建议公式可靠性分析

4.1 西安地铁飞天路车站工程概况

飞天路车站位于黄土台塬区，地形呈南高北低状，地面高程在510.5～515.0m之间。根据岩土的时代成因、地层岩性及工程特性，对岩土进行了工程地质分层，场地地层从上到下各层土的岩性特征如表1所示。

表1 土层物理力学性质

地下地铁车站为钢筋混凝土闭合框架结构，车站总宽度为19.2m，总高度为14.01m，中柱横截面尺寸为0.8m×1.2m，纵向间距为9m，车站典型横断面如图8所示。

图8 飞天路地铁车站标准断面示意(单位:mm)

4.2 地铁车站地震反应数值模型

采用时程分析法对飞天路车站进行抗震计算时，为了简化计算，将黄土-地铁地下结构动力相互作用三维体系视为二维平面应变问题来考虑，对黄土场地及地铁地下结构的典型断面进行数值模拟。建立模型如图9所示，模型参数根据试验确定。

1-无限元边界 2-固定边界 3-基岩图9 黄土-地铁车站时程分析法计算模型

4.3 地基反力弹簧刚度取值可靠性分析

为了验证本文提出的综合建议公式的可靠性，分别采用体型修正法、板宽修正法及综合建议公式确定地基反力弹簧刚度。基于确定的地基反力弹簧刚度采用反应位移法对地铁车站进行抗震计算，并将计算得到的地铁车站结构控制点处弯矩与时程分析法计算结果进行比较(表2、表3)。

表2 地基反力弹簧刚度参数 ×107Pa

表3 反应位移法与时程分析法车站结构控制点弯矩值比较

由表3可知，采用体型修正法及板宽修正法确定地基反力弹簧刚度时，按照反应位移法计算结构控制点弯矩，上层柱顶弯矩显著偏小。采用本文提出的综合建议公式确定地基反力弹簧刚度时，计算结构控制点弯矩却无此现象。由于体型修正法及板宽修正法中底板地基弹簧刚度的计算只强调结构截面尺寸的影响，忽略埋深这一关键因素，使得顶板与底板地基反力弹簧刚度一致。而顶底板的地基反力弹簧刚度参数与埋深成正比，顶板应比底板地基反力弹簧刚度取值小。若取顶板与底板地基反力弹簧刚度一致时，顶板地基反力弹簧刚度过大，限制顶板的变形，从而导致中柱的剪切变形过小，使得上层中柱端部弯矩计算结果过小。

课题组对西安地铁飞天路车站进行了大型地震模拟振动台试验，试验结束后车站结构破坏如图10所示。由图可知，上层中柱顶部破坏最严重，而体型修正法及板宽修正法确定地基反力弹簧刚度时，内力计算表明上层中柱顶部为中柱构件内弯矩最小部位，与振动台试验中地铁车站震害特征不符合。本文提出的综合建议公式确定地基反力弹簧刚度时，内力计算得出的结构弯矩与时程分析法计算结果较吻合，且与振动台试验地铁车站震害特征相符，表明本文提出的综合建议公式确定地基反力弹簧刚度具有较好的可靠性。

(a)中柱破坏

(b)中柱与板连接处破坏

5 小结

本文基于有限元法，分析了地铁车站截面高度、顶板埋深、底板与基岩距离、车站截面宽度、地基土的弹性模量、泊松比、粘聚力、内摩擦角与地基反力弹簧刚度参数之间的关系。通过数值模拟和对比分析，归纳了各种不同因素对地基反力弹簧刚度取值的影响规律，提出考虑了多种影响因素的地基反力弹簧刚度综合建议公式。同时，分别采用不同方法确定地基反力弹簧刚度，并基于确定的地基反力弹簧刚度对工程实例进行抗震计算，将计算结果与有限元动力时程分析法计算结果进行对比分析，验证了本文提出的综合建议公式确定地基反力弹簧刚度具有较好的可靠性，可为地铁地下结构的抗震计算提供可靠参考。

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TU435

A

[定稿日期]2017-05-23

国家自然科学基金(编号：2014BAL06B04-4)；西安市地下铁道有限责任公司科研基金(编号：D4-YJ-042014048)

杨飞(1983～)，男，本科，工程师，主要从事地下结构抗震设计方面工作；董新勇(1990～)，男，硕士研究生，主要从事建筑结构抗震、混凝土结构以及生土结构方面研究；周沈华(1980～)，男，硕士，高级工程师，主要从事岩土与地下工程抗震研究。