零级超越亚纯函数的q-差分多项式的值分布

金 瑾

(贵州工程应用技术学院 数学系循环经济研究院, 贵州 毕节 551700)

零级超越亚纯函数的q-差分多项式的值分布

金 瑾

(贵州工程应用技术学院 数学系循环经济研究院, 贵州 毕节 551700)

利用Nevanlinna的亚纯函数的值分布理论,研究零级超越亚纯函数的q-微分多项式的值分布理论,讨论差分多项式的特征函数和零点,取得一些结果,并且对差分多项式零点的一些经典结果建立差分模拟.

超越亚纯函数; 差分多项式; 值分布; Nevanlinna理论

1 主要结果

W. K. Hayman[1]证明了下面的著名定理.

定理1.1[1]设f(z)为超越亚纯函数,n为正整数,如果n≥3,则fn(z)f′(z)取每一个非零有穷复数无穷多次.

L. R. Sons[2]证明了以下定理.

定理1.2[2](a) 若f(z)超越亚纯函数,并且N1(r,1/f)=S(r,f),令

ψ=fn0(f′)n1…(f(k))nk,

其中n0、n1、n2、…、nk是非负整数,并且k≥1,n0≥1,如果

那么δ(a,ψ)<1,其中a≠0,∞.

(b)f(z)是超越亚纯函数,

ψ=fn0(f′)n1…(f(k))nk,

若nk≥1,n0≥2,且

那么δ(a,ψ)<1,其中a≠0,∞.N. Steinmetz[3]进一步减弱了定理1.2的(b)条件,证明了以下定理.

定理1.3[3]若f(z)超越亚纯函数,ψ=fn0(f′)n1…(f(k))nk,如果nk≥1,n0≥2,则

其中，c≠0,∞为一常数.

Jiang X. H.等[4]得到如下结论.

定理1.4[4]设f(z)为平面内的超越亚纯函数,a为任意非零复数,对任意的正整数m,i0,i1,…,in,λ=i0+i1+…+in,Δ=i0+2i1+…+nin，则当m≥λ+Δ+2时,

wm+awi0(w′)i1(w(2))i1…(w(n))in

可取无穷多个零点.Fang M. L.[5]又研究了f(z)+a(f′(z))n的值分布,得到下面结论.

定理1.5[5]设f(z)为平面内的超越亚纯函数,a为非零复数,对任意的正整数n≥2,函数f(z)+a(f′(z))n取每一个有穷复数无穷多次.

张然然等[6]研究了亚纯函数的差分多项式

(1)

定理1.6设f(z)是有限级亚纯函数,满足N(r,f)=S(r,f),设H(z,f)形若(1)的差分多项式,其中系数是为f(z)的小函数,且H(z,f)中仅有一个单项式具有最高次数degfH,则

H(z,f)=(degfH)T(z,f)+S(z,f).

在本文中,令

F(z)=f(q0z)i0f(q1z)i1f(q2z)i2…f(qkz)ik,

(2)

其中，k≥1为整数,q1,q2,…,qk为相互不同的非零复常数,i1,i2,…,ik为非负整数,ai(z)为f(z)的小函数.

记i0+i1+…+ik=n=degfH,则有以下定理.

定理1.7设f(z)是零级超越亚纯函数,满足N(r,f)=S(r,f),设F(z)、k、n为(2)式所定义,又设H(z,f)为形如(1)式的差分多项式,系数aλ(z)为f(z)的小函数,且H(z,0)≠0,记H(z,f)中不同σλ,j的个数为m,如果

n>min{mdegfH+2(k+1),

m(degfH+1)+k+1}，

则φ(z)=F(z)+H(z,f)有无穷多个零点,且满足λ(φ)=σ(φ)=σ(f).

2 引理

对文献[7]中的推论2.2作变形得到引理2.1.

引理2.1设f(z)是非常数有限级亚纯函数,η1、η2是任意复常数,则

引理2.2[8]设f(z)是非常数的零级超越亚纯函数,对常数q∈C-{0},则有

应用到文献[9]的定理2.1,可以得到如下引理.

引理2.3设f(z)是非常数有限级亚纯函数,c≠0是任意复常数,则

T(r+|c|,f)=T(r,f)+S(r,f),

N(r+|c|,f)=N(r,f)+S(r,f).

由文献[10]得到:设f(z)是亚纯函数,则对任意的c≠0,当r→∞时,不等式

(1+o(1))T(r-|c|,f)≤

T(r,f(z+c))≤(1+o(1))T(r+|c|,f)

成立.由上述不等关系的证明过程知，上述不等关系对密指量也成立.由引理2.3容易得到下面引理.

引理2.4设f(z)是非常数有限级亚纯函数,r是任意复常数,则

T(r,f(z+c))=T(r,f)+S(r,f),

N(r,f(z+c))=N(r,f)+S(r,f),

3 定理的证明

定理1.7的证明令

其中

则差分多项式H*(z,f)中每一个单项式的次数都大于或等于1,且有H(z,f)=H*(z,f)+H(z,0).令

(3)

则

(4)

由(4)式,并注意到F(z)=f(q0z)i0f(q1z)i1f(q2z)i2…f(qkz)ik和i0+i1+…+ik=n=degfH得到

(5)

H(z,0)g(q0z)i0g(q1z)i1g(q2z)i2…g(qkz)ik,

其中

由引理2.1和2.2以及T(r,aλ)=S(r,f),得到

m(r,bλ)=S(r,f),T(r,H(z,0))=S(r,f).

m(r,H(z,0))=S(r,f),

下面证明m(r,Ω)=nm(r,g)+S(r,g).记degfH=d.类似于文献[9]定理2的方法,将H(z,f)改写为

(6)

其中

i=1,2,…,d,

(7)

由于H(z,f)的系数aλ(z)是f(z)的小函数,故有

m(r,aλ)≤T(r,aλ)=S(r,f).

因此,由引理2.1知,对i=0,1,2,…,d有

m(r,bi(z))=S(r,f),

(8)

若degfH=d=1时,则H(z,f)=b1(z)f(z)+b0(z),所以有

m(r,H)≤m(r,f)+m(r,b1)+

m(r,b0)+O(1)=m(r,f)+S(r,f).

若degfH=d>1时,则(6)式改写为

H(z,f)=f(z)(bd(z)fd-1(z)+…+b1(z))+b0(z).

所以有

m(r,H)≤m(r,f)+m(r,(bd(z)fd1-1(z)+…+

b1(z))+b0(z))+S(r,f),

(9)

由(9)式和归纳法知

m(r,H)≤dm(r,f)+S(r,f),

(10)

由H(z,f)中仅有一个单项式具有最高次数degfH=d，故

因此,由T(r,aλ)=S(r,f)和引理2.1得到

(11)

(12)

令E1={θ||f(reiθ)|≥2A(reiθ),0≤θ≤2π},E2是E1的补集,因此当θ∈E1时有

于是,当z=reiθ,θ∈E1时有

|H(z,f)|=|f(z)|d|bd(z)+

从而

dm(r,f)=m(r,fd)=

(13)

由(8)式以及(11)～(13)式得到

dm(r,f)≤m(r,H)+S(r,f),

由上式及(10)式,并注意到degfH=d,得到

m(r,H)=dm(r,f)+S(r,f).

像上述一样也可得到

m(r,Ω)=nm(r,g)+S(r,g).

(14)

m(r,Ω)=nT(r,f)+S(r,f),

(15)

利用第二基本定理以及(3)式得到

(16)

由(15)和(16)式得到

(17)

S(r,f)=mdN(r,f)+S(r,f).

此外,采用上述(6)～(10)式的方法得到m(r,H)≤dm(r,f)+S(r,f).因此

O(1)≤mdT(r,f)+S(r,f).

(18)

(19)

知,如果z0满足F(z0)=∞和Ω(z0)+1=0,则H(z0,f(z0))=∞.因此有：

由(19)式又得

(20)

因此由(20)式得

(21)

由引理2.4得到

(22)

(23)

由上式和(18)、(22)和(23)式得到

(n-md-(k+1)-m)T(r,f)≤

(24)

再由(20)和(23)式得

(25)

又由(17)、(23)和(25)式得到

由上式和(18)式又可得

(n-md-2(k+1))T(r,f)≤

(26)

再由假设条件

n≥min{mdegfH+2(k+1),

m(degfH+1)+k+1},

以及(24)和(26)式并注意d=degfH可得

所以φ(z)=F(z)+H(z,f)有无穷多个零点,且满足λ(φ)≤σ(f),又由引理2.4知

λ(φ)≤σ(φ)≤σ(f),

因此函数φ(z)有无穷多个零点且λ(φ)=σ(φ)=σ(f).

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The Value Distribution ofq-difference Polynomials of Zero Order Transcendental Meromorphic Functions

JIN Jin

(DepartmentofMathematicsResearchInstituteofCircularEconomy,GuizhouUniversityofEngineeringScience,Bijie551700,Guizhou)

In this paper, the value distribution ofq-differential polynomials on zero order meromorphic function is studied by Nevanlinna value distribution theory on meromorphic function. We obtain some results for differential polynomials, and establish difference analogues of some classical result about the zeros of differential polynomials.

transcendental meromorphic function; difference polynomial; value distribution; Nevanlinna theory

2016-01-24

贵州省科学技术基金(2010GZ43286和2012GZ10526)、贵州省教育厅科学技术基金([2015]392)和贵州省毕节市科研基金 ([2011]02)

金 瑾(1962—),男,教授,主要从事复分析研究，E-mail:jinjin62530@163.com

O174.5

A

1001-8395(2017)05-0661-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.05.017

2010MSC：30D35； 39A10

(编辑 陶志宁)