带非局部扰动项的KdV方程的临界正则性

2017-11-08王宏伟刘玉军

四川师范大学学报（自然科学版） 2017年5期

关键词：王宏伟安阳二进制

王宏伟，刘玉军

(安阳师范学院数学与统计学院, 河南安阳 455000)

带非局部扰动项的KdV方程的临界正则性

王宏伟，刘玉军

(安阳师范学院数学与统计学院, 河南安阳 455000)

双线性估计; Bourgain空间; 临界正则性

本文研究如下带非局部扰动项的KdV方程的Cauchy问题

(1)

其中,u=u(x,t)是未知函数,H表示Hilbert变换

这类带非局部扰动项的KdV方程是L. A. Ostrovsky等[1]在研究分层剪切流中非线性长波的辐射不稳定性问题时提出的数学模型.

1 解空间和线性估计

A、B是2个正数,用AB表示存在c>0,使得A≤cB;如果c是一个充分小的正数,则用A≪B来表示;当ABA时,记为A∽B.对u=u(x,t)∈S′(R2),Fxu或表示对空间变量x的Fourier变换或Fu表示时空Fourier变换.光滑函数η∈满足η≥0,suppη⊆[-2,2],在[-1,1]上η≡1.定义φ(ξ)=η(ξ)-η(2ξ).N、L是二进制变量,即它们的取值是2n,n∈Z.定义算子PN为定义ψL(τ,ξ)=φL(τ-ξ3),即

考虑与方程(1)等价的积分方程

(2)

u(t)=η(t)[W(t)φ-

(3)

与方程(1)相联系的一般的Bourgain空间Xs,b范数的定义是

‖u‖Xs,b=

‖u‖Xs,b,q=

‖u‖X+Y=inf{‖u1‖X+‖u2‖Y:

u1∈X,u2∈Y,u=u1+u2}.

由空间Ss的定义,易知[7]如下引理.

(4)

(5)

利用Bourgain空间的理论,可以证明下面2个线性估计[7].

引理3定义线性算子

Lf(x,t)=

2 非线性估计

(6)

证明由空间S和N的定义,得到：

对u和v进行二进制分解有

(7)

为估计上式的右端,根据N、N1、N2的相对大小关系,需要分3种情况来计算:(a)N∽N2,N1N;(b)N∽N1,N2N;(c)N∽N1∽N2.根据对称性,(a)和(b)的计算是相同的,因此,只须估计(a)和(c).

1) 如果N∽N2,N1N,此时(7)式右端可以改写为

定理2转化为证明如下不等式

(8)

对左边进行二进制分解有

PN∂x(PuPNv)=PNQL∂x(PN1QL1uPNQL2v).

首先考虑最简单的情况N11.利用空间的部分和Bernstein不等式,有

当NN11时,根据L、L1、L2的相对大小,分3种情况来讨论.

(i)Lmax=L.此时,有LN2N1,由的定义和估计(4)、(5)式，可以得到

(ii)Lmax=L1.此时,有2种情况L1∽N2N1或L1∽LmedN2N1.如果L1∽N2N1,则

如果L1∽LmedN2N1,则Lmed=L2或Lmed=L,L1∽L∽Lmax∽Lmed的情况在Lmax=L时已经讨论过了,因此不妨假定Lmed=L2,此时有

(iii)Lmax=L2.此时,L2∽N2N1,与前面的讨论类似,可以得到

2)N≪N1∽N2.此时,应用如下二进制分解

PN≪N1∂x(PN1uPN1v)=

由L1、L2的对称性,不妨假定L1≥L2.低频N1的情况容易计算

当N1时,分2种情况来证明结论.

(i)Lmax=L.此时,LN.如果对某个充分小的ε>0,有L1N1N2-ε,那么

当L2N1N2-ε时,与上面的估计相似.以下假定L1、L2N1N2-ε,此时有

最后,当L1∽L2时,得到

3 主要定理的证明

‖u‖Z=

对任何θ>0,存在μ=μ(θ)>0,使得对任何支集在[-T,T]内的光滑函数f有[7]

(9)

(10)

定义解映射

下面证明Γ(u)是压缩的.

首先证明存在0

‖L∂x(uv)‖Z‖u‖Z‖v‖Z.

(11)

把(11)式的左端分成3部分

‖L∂x(uv)‖Z‖

由引理3和定理2可知

由(10)式可以得到

Tμ‖u2‖S 0‖v2‖S 0Tμα-2‖u‖Z‖v‖Z,

Tμα-1‖u‖Z‖v‖Z.

合并以上3个估计有

‖L∂x(uv)‖Z

(1+(α-2+α-1)Tμ)‖u‖Z‖v‖Z,

即当T∽α2≤1时(11)式成立.

下面把初值分解为低频和高频2部分,即φ=Pφ+P≫Nφ.取定β>0,令N充分大,可以得到

由引理1,‖η(·)W(·)P≫Nφ‖Zβ.另外,根据Z的定义有

‖η(·)W(·)P≫Nφ‖S 0

α‖Pφ‖L2‖

适当选取充分小的β,使得α‖则Γ(u)是Z上的一个压缩映射.定理1得到证明.

致谢安阳师范学院科研培育基金(AYNU-KP-B04)对本文给予了资助,谨致谢意.

[1] OSTROVSKY L A, STEPANYAMS Y A, TSIMRING L S. Radiation instability in a stratified shear flow[J]. Int J NonLinear Mech,1984,19(4):151-161.

[2] ALVAREZ B. The Cauchy problem for a nonlocal perturbation of the KdV equation[J]. Diff Integ Eqns,2003,16(10):1249-1280.

[3] CARVAJALD X, SCIALOM M. On the well-posedness for the generalized Ostrovsky, Stepanyams and Tsimring equation[J]. Nonlinear Anal,2005,62(7):1277-1287.

[4] ZHAO X, CUI S. Well-posedness of the Cauchy problem for Ostrovsky, Stepanyams and Tsimring equation with low regularity data[J]. J Math Anal Appl,2008,344(2):778-787.

[5] MOLINET L, RIBAUD F. The Cauchy problem for dissipative Korteweg-de Vries equations in Sobolev spaces of negative order[J]. Indiana Univ Math J,2001,50(4):1745-1776.

[6] MOLINET L, RIBAUD F. The global Cauchy problem in Bourgain's type spaces for a dispersive dissipative semilinear equation[J]. SIAM J Math Anal,2002,33(6):1269-1296.

[7] MOLINET L, RIBAUD F. On the low regularity of the Korteweg-de Vries-Burgers equation[J]. Int Math Res Not,2002,37(6):1979-2005.

[8] KENIG C E, PONCE G, VEGA L. A bilinear estimate with applications to the KdV equation[J]. J Am Math Soc,1996,9(2):573-603.

[9] ZHAO X, CUI S. Local well-posedness of the Ostrovsky, Stepanyams and Tsimring equation in Sobolev spaces of negative indices[J]. Nonlinear Anal,2009,70(10):3483-3501.

[10] CARVAJAL X, PANTHEE M. Panthee, well-posedness of KdV type equations[J]. Electron J Diff Eqns,2012,2012(40):1-15.

[11] CARVAJAL X, PANTHEE M. Well-posedness for for some perturbations of the KdV equation with low regularity data[J]. Electron J Diff Eqns,2008,2008(2):1-18.

[12] PILOD D. Sharp well-posedness results for the Kuramoto-Velarde equation[J]. Commun Pure Appl Anal,2008,7(4):867-881.

[13] 林雪梅,胡劲松,刘倩. 耗散SRLW方程的一个新的守恒差分逼近[J]．四川师范大学学报(自然科学版),2014,37(1):49-53.

[14] 廖欧,舒级,曾群香. 一类混合KdV方程的精确孤立波解[J]. 四川师范大学学报(自然科学版),2015,38(4):493-496.

[15] ESFAHANI A. Sharp well-posedness of the Ostrovsky, Stepanyams and Tsimring equation[J]. Math Commun,2013,18(2):323-335.

On the Critical Regularity of the KdV Equation with a Nonlocal Perturbation

WANG Hongwei， LIU Yujun

(SchoolofMathematicalandStatistics,AnyangNormalUniversity,Anyang455000,Henan)