双线性分数次Hardy算子交换子在Herz-Morrey空间上的估计

2017-11-08刘荣辉

四川师范大学学报（自然科学版） 2017年5期

关键词：交换子积分算子共轭

刘荣辉, 周疆

(新疆大学数学与系统科学学院, 乌鲁木齐新疆 830046)

双线性分数次Hardy算子交换子在Herz-Morrey空间上的估计

刘荣辉, 周疆*

(新疆大学数学与系统科学学院, 乌鲁木齐新疆 830046)

证明了双线性分数次Hardy算子和双线性分数次共轭Hardy算子分别与中心BMO函数生成的交换子在Herz-Morrey空间上的有界性,同时得到了双线性Hardy算子交换子和双线性共轭Hardy算子的相应结果.

1 预备知识

双线性算子的研究起源于20世纪70年代,文献[1-2]发现Calderón-Zygmund交换子的研究可以归结为一类双线性奇异积分算子的研究.随后双线性算子的有界性问题得到众多研究者的关注,如文献[3-6]等在此方面有非常出色的工作.与此同时,关于Hardy算子的研究也得到了迅速的发展,参见文献[7-10].

1920年,Hardy在证明Hilbert双重级数定理的过程中得到了Hardy积分不等式,此后Hardy算子的研究便引起了众多学者的广泛关注,他们不仅研究了Hardy积分不等式的各种不同形式的证明,而且还对其进行了推广和应用[11-12].

1995年,M. Chirst等[13]给出了n维Hardy算子

2007年，傅尊伟等[14]首次给出了n维分数次Hardy算子

并建立了它们在Lebesgue 空间和齐次Herz 空间中的有界性，同时研究了与(中心BMO 空间) 函数所生成的交换子的有界性，其中,0≤β

首先介绍n维双线性分数次Hardy算子的定义.

下面给出Herz-Morrey空间的定义.设Bk={x∈Rn:|x|≤2k}对于k∈Z,记Ak=BkBk-1且χk=χAk,其中χAk是Ak的特征函数.

其中

注1.2中心BMO空间被认为是BMO空间中的球心在原点时的BMO空间,但事实上,中心BMO空间不是BMO空间的一种简单形式,比如中心BMO空间不满足John-Nirenberg不等式,且

BMO(Rn),

在2003年,C.Pérez等[11]研究了如下定义的双线性Calderón-Zygmund算子交换子:

[T,b]1(f,g)=T(bf,g)-bT(f,g),

[T,b]2(f,g)=T(f,bg)-bT(f,g),

C.Pérez等[11]讨论了交换子[T,b]i(i=1,2)在Lebesgue空间上的有界性,即如果b∈BMO(Rn),1

‖[T,b]1(f,g)‖Lp(Rn),‖[T,b]2(f,g)‖Lp(Rn)≤

C‖b‖BMO(Rn)‖f‖Lp1(Rn)‖g‖Lp2(Rn),

同时也研究了当1/2

受上述工作的启发,首先给出双线性分数次Hardy算子交换子和双线性分数次共轭Hardy算子交换子的定义.

本文是齐次Herz-Morrey空间上的结果,但是对于非齐次的Herz-Morrey空间同样成立,文中的C通常表示与空间维数等有关的常数,每次出现时有可能其值并不相同,对于Rn中的可测子集E,用|E|表示E的Lebesgue测度.

2 主要结论

定理2.1设0

定理2.2设0

令

0≤β<2n/max(q1,q2),

α=α1+α2,λ=λ1+λ2,

则有：

在定理2.1中令β=0,有如下推论.

推论2.1设0

在定理2.2中令β=0,有如下推论.

3 定理的证明

引理3.1[14]设b∈CMO1(Rn)且i,k∈Z,则

|b(t)-bBk|≤|b(t)-bBi|+

C|i-k|‖b‖CMO1(Rn).

引理3.2设0<β

‖Iβf‖Lq2(Rn)≤C‖f‖Lq1(Rn).

令1/u=1/q1+1/q2,则1/q=1/u-β/n.注意到

χBj(x)≤C2-jβIβ(χBj)(x),

使用Hölder不等式得

‖χk‖Lq(Rn)≤‖χBk‖Lq(Rn)≤C2-kβ‖Iβ(χBk)‖Lq(Rn)≤C2-kβ‖χBk‖Lu(Rn)≤C2-kβ‖χBk‖Lq1(Rn)‖χBk‖Lq2(Rn).

利用上式可得

下面估计J,由引理2.1可得

对于J1,通过Hölder不等式,类似于I的估计得

对于J2,由Hölder不等式,类似于I的估计有

J2≤C‖

基于对I、I1和I2的估计可得

因为

定理2.1(ii)的证明与定理2.1(i)的证明类似，只是将交换子与函数f2结合，因此省略证明的细节.

现在分别估计I和J,对于I,由Hölder不等式

以及条件

可得

对于J,由引理2.1得

下面分别估计J1和J2.对于J1,由Hölder不等式类似I的估计得

对于J2,由Hölder不等式类似估计有

J2≤C‖

结合I、J1和J2的估计可得

令1/p1+1/p2=1/γ,则1/γ-β/n=1/p,从而p>γ利用Hölder不等式和α=α1+α2,可得

S≤C‖

所以,利用条件αi>λi+β/2-n/qi(i=1,2)

定理2.2(ii)的证明与定理2.2(i)的证明类似,因此不再赘言.

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Estimate of the Commutators of Bilinear Fractional Hardy Operators on Herz-Morrey Spaces

LIU Ronghui, ZHOU Jiang

(CollegeofMathematicsandSystemSciences,XinjiangUniversity,Urumqi830046,Xinjiang)

In this paper, it is proved that the commutators of bilinear operators and conjugate operators generated by central BMO functions and bilinear fractional Hardy operators are bounded on the Herz-Morrey, respectively. The similar results for bilinear Hardy operators and bilinear conjugate Hardy operators are also obtained.