函数与方程思想在高中数学中的应用举例

杨飞

【摘 要】函数与方程思想是高中数学的一种重要的思想方法，它在高中数学中应用广泛。在本文笔者列举了函数与方程思想在平面向量中的应用、函数与方程思想在解析几何中的应用、函数与方程思想在数列中的应用。

【关键词】高中数学；函数与方程思想；应用举例

一、函数与方程思想在平面向量中的应用

方法指导：

平面向量问题的函数（方程）法是把平面向量问题，通过模、数量积等转化为关于相应参数的函数（方程）问题，从而利用相关知识结合函数或方程思想来处理有关参数值问题。学生在解题时一般要遵从以下几点：

首先，向量代数化，利用平面向量中的模、数量积等，结合向量的位置关系、数量积公式等进行代数化，得到含有参数的函数（方程）。

其次，代数函数（方程）化，利用函数（方程）思想，结合相应的函数（方程）的性质来求解问题。

最后，得出结论，根据条件建立相应的关系式，并得到对应的结论。

例题展示：

已知e1，e2是单位向量，e1·e2= 1-2 .若向量b满足b·e1=2，b·e2= 5-2 ，且对于任意x，y∈R，|b-（xe1+ye2）|≥|b-（x0e1+y0e2）|=1（x0，y0∈R），则x0= ，y0= ，|b|= 。

例题解析：

其实本问题就等价于|b-（xe1+ye2）|当且仅当x=x0，y=y0时取到最小值1，

即|b-（xe1+ye2）|2=b2+x2e12+y2e22-2xb·e1-2yb·e2+2xye1·e2=|b|2+x2+y2-4x-5y+xy在x=x0，y=y0时取到最小值1，

又|b|2+x2+y2-4x-5y+xy=x2+（y-4）x+y2-5y+|b|2=（x+）2+（y-2）2-7+|b|2，

所以，（x+）=0；y-2=0；-7+|b|2=1

解得，x0=1；y0=2；|b|=2

二、函数与方程思想在解析几何中的应用

方法指导：

函数与方程思想在解析几何中的应用是一个重要的内容，解析几何中的最值是高考的热点问题，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个（或者多个）变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决。

例题展示：

已知椭圆C：=1（a>b>0）的离心率为，左、右焦点分别为F1、F2，以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设Q为椭圆C上不在x轴上的一个动点，过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M、N两个不同的点，记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S=S1+S2，求S的最大值。

例题解析：

（1）由题意知e==，

所以e2===，

即a2=2b2，又以原点O为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆为x2+y2=b2，且与直线x-y+2=0相切，所以b==2，

所以a2=4，b2=2，故椭圆C的标准方程为=1

（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），直线OQ：x=my，则直线MN：x=my+，

由x=my+，=1，得（m2+2）y2+2my-2=0，

y1+y2=-，y1y2=-.

所以|MN|=|y2-y1|

=

=

=，

因为MN∥OQ，所以△QF2M的面积等于△OF2M的面积，S=S1+S2=S△O MN，

因为点O到直线MN：x=my+的距离d=，所以S=1-2 |MN|·d=1-2 ××=

令 =t，则m2=t2-1（t≥1），

S==，

因为t+1-t≥2=2（当且仅当，即t=1，也即m=0时取等号），所以当m=0时，S取得最大值。

三、函数与方程思想在数列中的应用

方法指导：

数列问题函数或方程化法形式结构与函数或方程类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，它还涉及的函数具有离散性特点，所以学生在解题时应从以下几个方面着手：

首先，分析数列式子的结构特征，看看它是否符合函数的特征。

其次，根据结构特征构造“特征”函数或方程，转化问题形式，以便求解。

再次，研究函数性质，结合解决问题的需要研究函数或方程的相关性质，这里主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究。

最后，回归问题，结合对函数或方程相关性质的研究，回归问题，最终找到答案。

例题展示：

已知，数列{an}是各项均为正数的等差数列。

（1）若a1=2，且a2，a3，a4+1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；

（2）在（1）的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn=++…+，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值。

例题解析：

（1）因为a1=2，a32=a2·（a4+1），又因为{an}是正项等差数列，故公差d≥0，

所以（2+2d）2=（2+d）（3+3d），

解得d=2或d=-1（舍去），

所以数列{an}的通项公式an=2n.

（2）因为Sn=n（n+1），

bn=++…+

=++…+

=-+-+…+-

=-=，

=

令f（x）=2x+（x≥1），

则f'（x）=2-，当x≥1时，f'（x）>0恒成立，

所以f（x）在[1，+∞）上是增函数，

故当x=1时，f（x）min=f（1）=3，

即当n=1时，（bn）max=1-6，

要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，則须使k≥（bn）max=1-6，

所以实数k的最小值为1-6。

参考文献：

[1]邹丽丽.函数与方程思想在高中数学解题中的应用[J].高中数理化，2014年02期.

[2]陈江华.函数与方程思想在高中数学中的应用[J].读与写，2014年03期.

[3]张玲.初中数学解题方法的总结[J].中国教育技术装备，2008年17期.endprint