常见最值问题与恒成立、存在性问题探究

范 林，李 艳

(宝应县氾水高级中学，江苏 宝应 225819)

常见最值问题与恒成立、存在性问题探究

范 林，李 艳

(宝应县氾水高级中学，江苏 宝应 225819)

高一函数值域后续内容有最值问题，尤其是高二命题和导数中常见用参数分离求最值的题目。教学时要重点讲清、讲透这类问题的解题方法，让学生从本质上理解这类问题的知识根源和解决方法。

函数单调性；函数最值；恒成立；存在性问题

求函数最值或不等式恒成立、存在性问题是高考的重点，也是高中学生感到有难度的内容。教学时要重点讲清、讲透这类问题的解题方法，让学生从本质上理解这类问题的知识根源和解决方法。

1 第一类问题： 二次函数的最值问题

二次函数的解题基本规律：1) 确定函数的单调性。2) 确定函数的最值点。

例1求函数y=x2+4x+1的最小值。

例2求函数y=x2+4x+1，x∈[-1，0]的最小值[1]。

错解： 由最值公式得

正解：y=x2+4x+1的对称轴方程为x=-2，y=x2+4x+1在区间[-1，0]为单调增函数，所以

ymin=(-1)2+4×(-1)+1=1-4+1=-2。

求给定区间的函数最值，一般先判断函数在这个区间上的单调性，再确定函数的最值点。求含参数的二次函数给定区间的最值的方法相同。

例3求函数y=x2-2ɑx+1，x∈[1，2]的最大值与最小值[2]。

解y=x2-2ɑx+1的对称轴方程为x=ɑ。

当ɑ≤1时，y=f(x)在区间[1，2]为单调增函数，所以

f(x)min=f(1)=2-2ɑ，

f(x)max=f(2)=5-4ɑ。

当1<ɑ<2时，

f(x)min=f(ɑ)=1-ɑ2。

f(x)max=f(2)=5-4ɑ；

f(x)max=f(1)=2-2ɑ。

当ɑ≥2时，y=f(x)在区间[1，2]为单调减函数，故

f(x)max=f(1)=2-2ɑ，

f(x)min=f(2)=5-4ɑ。

通过讨论函数的单调性，可以将函数的图象大致画出来，进而直观地判断函数的最值点，利用对称轴从左到右移动产生于区间的位置关系可以做到不遗不漏，解题思路条理分明。

例4求y=x2-2x+1在区间[m，m+1]的最大值与最小值[3]。

这属于“定轴动区间”问题，方法与例3一样，按照对称轴与区间的位置关系依次考虑函数的单调性来确定函数的最值。

解y=x2-2x+1的对称轴方程为x=1。

当m≥1时，y=f(x)在区间[m，m+1]为单调增函数，所以

f(x)min=f(m)=m2-2m+1，

f(x)max=f(m+1)=m2。

当m<1

f(x)min=f(1)=0。

f(x)max=f(m+1)=m2；

f(x)max=f(m)=m2-2m+1。

当m+1≤1，即m≤0时，y=f(x)在区间[m，m+1]为单调减函数，所以

f(x)min=f(m+1)=m2，

f(x)max=f(m)=m2-2m+1。

综上，

二次函数问题是初中和高中知识的连接点，也是初中知识在高中的拓深。

2 第二类问题： 恒成立问题和存在性问题

恒成立问题是求最值的一个运用。

例5对任意实数x，不等式x2-2ɑx+1>0恒成立，求实数ɑ的取值范围[4]。

解1(最值法) 记f(x)=x2-2ɑx+1，因为∀x∈R，f(x)>0恒成立，所以

f(x)min=f(ɑ)=1-ɑ2>0，

即-1<ɑ<1。

解2(图象法) 记f(x)=x2-2ɑx+1，因为∀x∈R，f(x)>0恒成立，所以y=f(x)的图象与x轴没有交点，

△=4ɑ2-4<0，

即-1<ɑ<1。

最值法采用数学整体思想来解题。图象法利用图象与x轴交点个数来解题，但只限二次函数且定义域是全体实数，若不是二次函数，必须大致画出图象。图象不好画出的函数，图象法不是首选。

解3(参数分离法) 因为x2-2ɑx+1>0，所以2ɑx

当x=0时，0<1，成立，所以ɑ∈R。

当x>0时，

记

所以ɑ

当x<0时，

记

所以ɑ>g(x)min=1，即ɑ>-1。

综上，-1<ɑ<1。

可以发现，参数分离法是求给定区间恒成立问题和存在性问题的重要方法。

例6对任意x∈[1，2]，x2-2ɑx+1>0恒成立，求实数ɑ的取值范围[5]。

记f(x)=x2-2ɑx+1，因为y=f(x)的定义域为[1，2]，这时选取参数分离法会简单一些。

解因为x2-2ɑx>0，所以2ɑx

记

存在性问题究其解题根源也是最值问题。

例7存在实数x∈R，x2-2ɑx+1<0成立，求实数ɑ的取值范围[6]。

解1(最值法) 记f(x)=x2-2ɑx+1，因为

f(x)min=f(ɑ)=1-ɑ2<0，

所以ɑ<-1或ɑ>1。

解2(图象法) 记f(x)=x2-2ɑx+1，y=f(x)的图象与x轴有2个交点，所以

△=4ɑ2-4>0，

即ɑ<-1或ɑ>1。

例8存在实数x∈[1，2]，x2-2ɑx+1<0成立，求实数ɑ的取值范围。

解(参数分离法) 因为x∈[1，2]，x2-2ɑx+1<0，所以

记

综上，对于恒成立问题和存在性问题，利用参数分离法转化为最值问题，可总结如下规律：

1) ∀x∈[ɑ，b]，m>f(x)⟹m>f(x)max。

2) ∀x∈[ɑ，b]，m

3) ∃x∈[ɑ，b]，m>f(x)⟹m>f(x)min。

4) ∃x∈[ɑ，b]，m

3 结束语

求二次函数在闭区间上的最值问题或值域问题，要结合函数图象和函数单调性，特别是动轴定区间和定轴动区间问题。对于恒成立问题和存在性问题可结合最值法、图象法、参数分离法求解。

[1] 宋验兵.二次函数在闭区间上的最值问题[J].新课程(教研),2011(7):61.

[2] 史艳波.浅谈二次函数在闭区间上的最值求法[J].中学生数理化(学习研究),2016(10):17.

[3] 王伯平.二次函数的最值[J].高中数学教与学,2013(13):22-24.

[4] 杨春梅.高中数学中恒成立问题的解析[J].高等函授学报(自然科学版),2010(6):80-82.

[5] 郭喜红.高中数学不等式恒成立问题的解题思路研究[J].数理化解题研究(高中版),2013(12):22.

[6] 玄建.三种含参数不等式成立问题[J].数理化学习(高中版),2017(7):33-34.

〔责任编辑： 卢 蕊〕

Theresearchoncommonmaximum-and-minimumproblem,permanence,andexistence

FAN Lin , LI Yan

(Fan shui bao ying county senior high school, Baoying 225819, China)

Students in senior one start to learn Maximum-and Minimum after finishing the study of function value.Especially in senior two, after learning proposition and derivative, it is common for students to get maximum and minimum by using parameter separation. So teachers need to focus on the solution of this kind of problem, to make students understand the essence of this problem and the general approaches to this problem.

function monotonicity; maximum and minimum of function; permanence; existence

G633.62

B

1008-8148(2017)04-0122-03

2017-06-06

范 林(1982—)，男，江苏扬州人，一级教师，主要从事高中数学教学研究；李 艳(1984—)，女，江苏扬州人，二级教师，主要从事高中数学教学研究。