Excel软件辅助“第二重要极限”教学探讨

摘 要：“第二重要极限”是极限计算中的重要内容，也是教学难点。Excel具有强大的计算、分析数据能力和图形可视化功能，对“第二重要极限”讲解和理解方面起着积极地辅助作用。

关键词：第二重要极限；Excel；试验模拟

基金项目：辽宁省职业技术教育学会课题“应用型大学数学课程教学引入Excel软件的改革探索“（LZY17220）

1 “第二重要极限”的教学现状

“第二重要极限”是求极限中一种非常重要的类型，不仅可以用来证明一些无穷小量的等价关系，推导一些基本初等函数的求导公式，同时该公式在投资等领域也有着广泛的应用。虽然“第二重要极限”在高等数学极限计算中起着重要作用，但学生对“第二重要极限”的理解和应用却存在困难，主要基于以下原因：

（1）英国数学史家M.克莱因指出，数学教学的主要问题是动机问题，而“第二重要极限”公式的出现较为突兀，不能让学生产生足够的学习动机。

（2）“第二重要极限”公式的证明是以单调有界准则为基础，这个准则本身对于应用型本科学生而言就存在难度，而该公式还要证明数列的单调性以及有界性。公式过于繁琐、抽象的证明，容易让学生产生畏难心理，进而失去继续学习重要极限的兴趣和积极性。

（3）“第二重要极限”存在两种基本表达形式：

与 ，可以看出这两种表达形式非常相像，在实际练习

时，学生常常把二者混淆起来，进而导致了最后极限计算结果的错误，还有“第二重要极限”在应用时需要构造特定的极限形式，学生对于该公式的灵活应用存在一定困难。

2 “第二重要极限”的教学设计

2.1 导入新课

一投资者欲用1000元投资5年， 设年利率为6%，分别计算每年2次、3次、4次复利、和连续复利，到第5年末， 该投资者应得的本利和S。

分析：很容易求得每年2次、3次、4次复利投资者应得的本利和，继而易知付息次数越多，投资者应得的本利和越大。那么问题提出，连续复利的本利和是否为无穷大呢？

2.2 利用Excel计算和图形描述功能，进行实验模拟，获得第二重要极限公式

（1）在单元格区域A1：A16中输入自变量x取值，如图1所示。

（2）选中单元格格B1，输入公式“=（1+1/ A1）^ A1”，按“ENTER”键，得A1对应的函数值，再利用填充功能，得到其他函数值。这样就计算出了函数 的值，如图2所示。

（3）以单元格区域A1：B16为数据区域，插入“光滑散点图”，绘制图形，如图3所示。

从（2）、（3）可以看到：當x→∞时，函数f（x）= 的值无

限接近于一个常数，将这个常数记作e.即e=2.718281828459045…，它是一个无理数.在自然科学中，以e为底的指数函数与对数函数经常被采用，以e为底的对数称为自然对数，记为lnx。

2.3 公式本质分析

为了能够让帮助学生有效地掌握和灵活地应用该公式，现对第二重要极限公式进行了研究分析，透过现象看本质。

（1）首先明确应用第二重要极限公式求极限的函数必须是 型的密指函数，即要求 的 型。注：

（2）其次把底函数改写成 “1+”的形式，即令 。

（3）最后把指数函数改写成倒数形式，即令 。

归纳求第二重要极限型极限的步骤为：

（注： ）

综合可知，求第二重要极限型极限不论变形有多少，只要抓住上述本质，就能以不变应万变。

2.4 例题讲解

例1 求

分析：首先它是 型，底函数已经改写成了“1+”的形式，只

要把指数函数改写成 形式即可。

解：

例2求

分析：首先它是 型，底函数是“1-”的形式，需要改写成了“1+”的形式，还要把指数函数改写成 形式。

解：

例3求

分析：这道题表面上看，它的底函数似乎不符合公式的形式，但它是 型，底函数需要改写成了“1+”的形式，指数函数需要改写

成 形式。

解：

例4 求

分析：这是1991年研究生入学考试高等数学二试题。如果我们直接把底函数需要改写成了“1+”的形式，接下来的计算将比较困难。我们试着先用换元法转变一下。

解：

类似的，2016年研究生入学考试高等数学二、三试题，求极限 ，如果我们直接把底函数需要改写成了“1+”

的形式，接下来的计算也将比较困难。我们试着先用三角函数关系转变一下， 。

例5设 ，则当 时 是x的（ ）

A.等价无穷小 B.二阶无穷小 C..三阶无穷小 D.四阶无穷小

分析：这是一道比较难的考研类型题，是第二重要极限的逆运算和无穷小比较的综合应用。

解：

由可知 ，即 ，

推出 ，所以 。综上可知当 时

是x的.三阶无穷小。答案选择C

例6一投资者欲用1000元投资5年， 设年利率为6%，试按连续复利付息方式计算， 到第5年末， 该投资者应得的本利和S。

分析：这道题是引出课题中的引例，可以引导学生根据之前学习的公式推导出连续复利公式：

（其中S为本利和，r为年利率，t为时间）

解：按连续复利公式计算

注： 连续复利的计算公式在其它许多问题中也常有应用如细胞分裂、树木增长等问题.

3 结束语

针对第二重要极限教学中存在的问题，利用案例引入、Excel辅助教学演示、对公式的本质分析，以及由易到难的例题讲解，降低了第二重要极限公式学习和应用的难度，使得学生对 类型的极限可以有效地进行解析， 同时提高了公式的简易实用性。

参考文献

[1]吴赣昌.微积分（经济类）[M].北京：中国人民大学出版社，2012.

作者简介

梁海滨（1978-），女，辽宁人，辽宁对外经贸学院基础课教研部副教授，从事高等数学教学研究。endprint