基于新阈值函数的小波阈值去噪算法*

王世礼, 杨 彪，2

(1.昆明理工大学 信息工程与自动化学院,云南 昆明 650500；2.昆明理工大学 教育部非常规冶金重点实验室,云南 昆明 650500)

基于新阈值函数的小波阈值去噪算法*

王世礼1, 杨 彪1，2

(1.昆明理工大学信息工程与自动化学院,云南昆明650500；2.昆明理工大学教育部非常规冶金重点实验室,云南昆明650500)

针对硬阈值函数不连续和软阈值函数中估计小波系数与分解小波系数之间存在着恒定偏差的缺点，构造了一种新的阈值函数。同时，为了增强去噪效果，采用了模糊控制算法对新阈值函数中的参数进行实时、动态地调节。仿真结果表明：新阈值函数去除噪声效果良好，信噪比和均方根误差等性能指标较传统阈值法均有显著提高。

阈值； 去噪； 阈值函数； 模糊控制

0 引 言

通常，含噪信号经小波分解后，系数将大于噪声系数，选择一个合适的数λ作为临界阈值，将小于该阈值的分解系数认为由噪声引起，予以舍弃；而大于该阈值的分解系数认为主要由信号引起，加以保留，此即阈值去噪[1]。Donoho D L和Johnstoe J M[2～4]提出了小波阈值去噪方法，基本思想：当小波系数小于某个临界阈值时，认为其主要是由噪声引起的，予以舍弃；当小波系数大于该临界阈值时，将这部分的系数直接保留(硬阈值方法)或按照某一固定量向零收缩(软阈值方法)，最后用新的小波系数进行小波重建，得到去噪后的信号。

1 传统的阈值函数

小波阈值去噪法的流程如图1所示。

以上流程中，小波基和分解层数j的选择，阈值λ的选择规则及阈值函数的设计，均为影响去噪效果的关键因素。

图1 小波阈值去噪法流程

硬阈值函数保留了大于阈值的小波系数，其他系数置零，其表达式为[4]

(1)

由硬阈值函数的表达式可以看出硬阈值函数在整个小波域内不连续，在±λ处存在间断点，且对大于阈值的小波系数不做处理，保留了其中的噪声分量，产生较大的方差，并没有随分解尺度变化而变化，产生“过扼杀”现象[5]。

软阈值函数对于大于阈值的小波系数采取向小波系数幅值减小的方向共同收缩一个阈值的策略，而其他系数置零，表达式为[3]

(2)

软阈值法虽然保证了连续性问题，但其高阶导数不连续，且对大于阈值的小波系数采取恒定收缩与噪声的小波系数分量随系数幅值增加而减小的规律不一致，产生较大偏差。为了解决硬阈值和软阈值函数存在的问题，学者提出了介于硬、软阈值函数之间的半软阈值方法[6]。

半软阈值函数采用了上、下2个阈值，大于上阈值的小波系数保留其值；小于或等于下阈值的小波系数置零；介于上、下阈值之间的小波系数则进行线性收缩，其表达式为

(3)

半软阈值函数在一定程度上改善了软、硬阈值函数的不足之处，既保留了较大的小波系数，又保证了连续性，但由于该阈值函数需确定2个阈值，大大增加了算法的复杂度。此外，半软阈值函数的导数不连续。

本文提出了一个介于硬、软阈值之间的新阈值函数，该阈值函数不仅满足阈值函数的连续性，而且高阶可导。为了获得更好的去噪效果，仿真实验过程中，结合模糊控制算法对信号去噪过程进行优化，动态调节新阈值函数参数，最后获得了良好的去噪效果。

2 新阈值函数构建

2.1 新阈值函数

为了克服传统软、硬阈值函数的缺点，增强去噪效果，提出了一种新的阈值函数，新阈值函数考虑了硬阈值函数和软阈值函数的特征。其表达式为

(4)

式中a，b，c均为可调节参数，取值范围为(0，1)。

2.2 新阈值函数特点

新阈值函数满足以下3点要求：随着小波系数的增加，新阈值函数渐近线为硬阈值函数曲线；在小波域内和软阈值函数有着相同的连续性；在|ωj,i|>λ和|ωj,i|<λ范围内，新阈值函数高阶可导。可由以下3方面证明：

1)新阈值函数在(-∞，-λ] 和 [+λ，+∞)定义域内的渐近线为硬阈值曲线。

2)新阈值函数在定义域(-∞，+∞)内连续。

3)新阈值函数在临界阈值-λ和+λ处高阶可导，在整个定义域(-∞，+∞)内处处可导。

为了更形象、直观地反映新阈值函数，绘制不同a，b，c值对应的新阈值函数曲线如图2所示。

图2 不同参数值对应的新阈值函数曲线

3 确定小波基和分解层数

考虑到同信号、不同信噪比下均存在一个去噪效果最好或接近最好的分解层数。分解层数过多，对各层小波空间系数进行阈值处理会造成信号的信息丢失严重，信噪比下降，且运算量大，处理变慢；分解层数过少，去噪效果不理想，信噪比不会下降，但是提高不多[7～9]。选用db5小波作为处理含噪信号的小波基函数，选择分解层数为5层。

4 参数调节

为了更好地去噪，采用了模糊控制算法[10～13]，计算信噪比差值动态调节新阈值函数中的可调节参数a,b,c的值，算法实现简单，实时性强，具体流程如图3所示。

图3 由信噪比差值选择参数值流程

根据经验及试验测试，得到参数a，b，c模糊控制规则如表1所示。

表1 参数模糊控制规则表

5 实验仿真与分析

实验采用Matlab软件，选取用于测试小波去噪效果的典型测试数据Droppler，Bumps信号，对其加入SNR=10 dB的高斯白噪声，分别用传统的硬、软阈值函数以及新阈值函数进行仿真。Droppler信号去噪后的波形如图 4所示，Bumps信号去噪后的波形如图5所示。

通过仿真实验结果和所得数据可知：

1)含噪的Droppler和Bumps信号经硬阈值函数去噪后，波形仍有振荡；经软阈值函数去噪后，波形比较平滑；新阈值函数处理后的波形更加平滑，没有附加振荡。同时由信噪比和均方误差指标可知，新阈值函数较传统软、硬阈值函数提高了信噪比SNR，并且均方误差MSE明显减小,如表2。

2)新阈值函数在信号去噪过程中，结合模糊控制算法，根据每一时刻的信噪比差值，对新阈值函数参数a，b，c进行了动态调节，去噪效果良好。

图4 Droppler信号去噪后结果

图5 Bumps信号去噪后结果

6 结束语

结合模糊控制算法，根据信噪比差值，实时、动态、合适地选择新阈值函数中的参数。仿真结果表明：相比于硬、软阈值函数，新阈值函数进一步提高了去噪信号的信噪比，减小了均方误差，获得了较好的去噪效果。

表2 各阈值函数对Droppler和Bumps信号去噪后的信噪比和均方差数据

[1] 黄一鹤.一种基于新的小波阈值函数的图像去噪方法[J].传感器与微系统,2011,30(9):76-78.

[2] Donoho D L,Johnstone J M.Ideal spatial adaptation by wavelet shrinkage[J].Biometrika,1998,81(3):425-455.

[3] Donoho D L.De-noising by soft-thresholding[J].IEEE Transaction on Information Theory,1995,41(3):613-627.

[4] Donoho D L,Johnstone I M.Adapting to unknown smoothness via wavelet shrinkage[J].Journal of the American Statistical Association,1995,90(432):1200-1224.

[5] Donoho D L.De-noising orthonormal redgelets and linear singua-larities[J].SIAM J Math Anal,2000,31(5):1062-1099.

[6] 韩 震,王红斌,余正涛.双边非局部均值滤波图像去噪算法[J].传感器与微系统,2016,35(6):124-127.

[7] 田 丰,孙 剑,邵 山.小波阈值去噪在传感器性能试验数据处理中的应用[J].传感器与微系统,2014,33(6):143-146.

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[10] 屈 毅,宁 铎,刘飞航,等.模糊PID控制器的设计及其仿真[J].计算机仿真,2009,26(12):130-132.

[11] 黎惠成,曾 碧,吴清泉,等.一种基于模糊控制的温度控制系统设计[J].计算机技术与发展,2009,19(12):236-239.

Waveletthresholddenoisingalgorithmbasedonnewthresholdfunction*

WANG Shi-li1, YANG Biao1,2

(1.FacultyofInformationEngineeringandAutomation,KunmingUniversityofScienceandTechnology,Kunming650500,China;2.KeyLaboratoryofUnconventionalMetallurgy,MinistryofEducation,KunmingUniversityofScienceandTechnology,Kunming650500,China)

A new threshold function is constructed to overcome shortcomings of constant deviation between the estimated wavelet coefficients and the decomposed wavelet coefficients in the discontinuous of hard threshold function and soft threshold function.At the same time,in order to enhance the denoising effect,use fuzzy control algorithm to adjust the parameters of the new threshold function in real time and dynamic.The simulation results show that the new threshold function has a good effect on removal of noise,and the signal to noise ratio and the root mean square error are significantly improved compared with the traditional threshold method.

threshold; de-noising; threshold function; fuzzy control

10.13873/J.1000—9787(2017)10—0144—03

2016—10—18

昆明理工大学引进人才科研启动基金资助项目(KKSY201503006)

TN 911.7

A

1000—9787(2017)10—0144—03

王世礼(1991-),男,硕士研究生，研究方向为多物理场耦合分析及数值计算，E—mail：1335325647@qq.com。杨 彪，男，通讯作者，副教授，研究生导师，从事冶金多物理场耦合分析及数值计算、多源馈能效能评估、特种场冶金智能控制等方面的研究工作，E—mail:ybiaocn@163.com。