不同时变延迟下的多AUV编队协调控制

唐会林, 周佳加, 何东旭,赵俊鹏

(1.中国人民解放军92213部队，广东 湛江 524064; 2.哈尔滨工程大学 自动化学院，哈尔滨 150001)

不同时变延迟下的多AUV编队协调控制

唐会林1, 周佳加2, 何东旭2,赵俊鹏2

(1.中国人民解放军92213部队，广东 湛江 524064; 2.哈尔滨工程大学 自动化学院，哈尔滨 150001)

针对无领航者AUV编队协调控制问题，提出了一种不同时变通信延迟下的一致性协调控制方法；首先考虑到AUV之间水下通信存在时间延迟和数据丢失的问题，利用状态反馈线性化理论处理AUV数学模型中的非线性耦合项，从而将复杂的AUV模型转换为双积分器动态模型；其次，针对不同延迟通信情况，设计了位置和速度双独立的拓扑结构以减少编队成员之间发送每个数据包中的数据量；最后，提出了无领航者的多AUV稳定条件，进而将多AUV编队控制问题看作是一致性问题，基于Laypunov-Razumikhin定理证明时延多AUV编队系统的稳定性；该控制方法不仅能够克服不同时变延迟和数据丢失对编队的影响,使所有以随机位置和速度出发的AUV的三维轨迹均能达到一致状态，同时能抑制外界干扰；仿真结果与所提控制方法理论结果一致。

多自主水下航行器; 时变延迟; 编队协调控制; 一致性理论

0 引言

随着海洋技术和应用需求的快速发展，自主水下航行器(autonomous underwater vehicle, AUV)在深海调查、海底地图绘制、资源勘探以及探测定位鱼雷等民用和军事领域具有重要的作用[1-2]。多AUV可以克服单个AUV不能完成复杂的任务的缺点，尤其系统中存在不确定性、不完全信息和分布式控制。因此，近年来多AUV的编队控制已经引起了控制界的广泛关注[3-4]。

然而，与陆地或空中多智能体编队控制相比，在多AUV的编队控制中，成员之间的信号传递采用水声作为通讯手段，随着通讯距离的增加以及声学设备的限制其通信质量有时难以保障，主要表现在信号的延迟、衰减、甚至失真[5-6]。在基于一致性方法的多AUV编队控制的方面，文献[7]提出了有限时间位置一致性算法和一种新颖的分布式有限时间观测器，用于无领航者或具有领航者的编队控制。在大多数有关一致性算法的研究中，通信延迟是不可避免的，通常利用Lyapunov-Krasovskii理论作为充要条件证明具有强连接和平衡通信拓扑编队的稳定性[8-9]。文献[10]将其作为时变混合时延动态系统网络中的一致性问题以解决航行器编队控制问题，并基于Lyapunov-Razumikhin泛函证明了航行器编队系统的稳定性。

文献[11]通过忽略非线性和耦合参数来构造AUV的线性模型，这导致建立模型缺乏准确性。与其不同，本文利用状态反馈线性化方法简化具有极小不准确性的模型，从而将编队控制协调算法中复杂的AUV模型转换为双积分器动态模型。此外，与文献[12-13]不同，本文提出的速度和位置变量的通信拓扑结构分别用于传递随时间变化的位置和速度信息，在不同通信拓扑结构和不同时间延迟的情况下完成多AUV编队。

1 问题描述

1.1 AUV模型的反馈线性化

AUV的动态模型可以被描述为在大地坐标系E-ξηζ和体坐标系O-xyz下的6-DOF模型，如图1所示。

图1 大地坐标系和体坐标系

由于横摇对平移运动的影响很小，因此忽略横摇运动。

(1)

其中:ηi=[xi,yi,zi,φi,θi,ψi]T，xi,yi,zi,φi,θi,ψi表示第i个AUV在x,y,z方向上的位置以及绕轴x,y,z转动的欧拉角;vi=[ui,vi,wi,pi,qi,ri]表示线速度和角速度。Mi,Ci(v)和Di(v)分别表示惯性矩阵，科里奥利矩阵和阻尼矩阵，而gi(η)是广义的重力和浮力的矩阵。J(ηi),Mi,Ci(vi),Di(vi)和gi(η)的详细物理意义可以参考文献[14]。在本文中，假设AUV在平面和垂直方向上是对称的。因此，g(η)等于0，且Mi,Ci(vi)是对称矩阵。

根据上述描述有：

(2)

根据式(1)和(2)，可以得到：

(3)

以单个AUV模型为例，标准的AUV非线性化函数可以描述为：

μ=h(ζ)

(4)

此外，对于h(ζ)的前5个元素，hi(ζ)的李导数可以定义为：

Lfhi(ζ)=fi(ζ),1≤i≤5

(5)

hi(ζ)的第二个李导数可以定义为：

(-usinψcosθ-vcosψ)f5(ζ)-

wsinψsinθf5(ζ)+cosψcosθf6(ζ)-

sinψf7(ζ)+cosψsinθf8(ζ)

(ucosψcosθ-vcosψ)f5(ζ)+

wcosψsinθf5(ζ)+sinψcosθf6(ζ)-

cosψf7(ζ)+sinψsinθf8(ζ)

sinθf6(ζ)+cosθf8(ζ)

(6)

定义两个新的向量x∈R5和v∈R5为：

x=[hi(ζ)]T,v=[Lfhi(ζ)]T,i=1,2,...,5

(7)

(8)

其中:Гij(ζ)=LgjLfhi(ζ),1≤i≤p,1≤j≤p。

在线性化系统中使用的新的控制输入可以被定义为：

(9)

因此，第i个AUV的数学模型可以通过如下反馈线性化被修改为标准双积分器动态模型：

(10)

其中:xi∈R5,vi∈R5,ui∈R5,i=1,2,...,n。

1.2 图论知识

1.3 基本引理

以下是后续稳定性分析的4个引理[10-13]。

引理1:L至少有一个零特征值，并且相关联的特征向量是1。所有非零特征值都在开放的左半平面中。此外，当且仅当与之相关联的有向图G具有生成树时，L恰好只有一个零特征值。

(11)

并且存在一个连续非递减函数ψ4(s)，s>0，满足：

(12)

在V(t+θ,x(t+θ))<ψ4(V(t,x))，θ∈[-r,0]时，那么原点x=0是一致渐近稳定的。

引理4:假设ξ1∈Rn1,ξ2∈Rn2和A∈Rn1×n2是在区间Ω上定义的。则对于任意矩阵，X∈Rn1×n2,Y∈Rn1×n2和Z∈Rn1×n2满足：

(13)

2 基于独立拓扑结构的协调控制器设计

与传统编队协调控制问题中的通信拓扑不同，本文将编队成员之间的通信拓扑结构分为位置和速度拓扑结构，考虑到实际海洋环境中，由于通信距离，密度等因素的不同，相同的时间延迟是难以实现的。因此，假设在位置和速度拓扑结构中的时间延迟是不同并且随着时间不断变化的。同时，假设位置和速度拓扑结构都包含生成树。在(10)中采用AUV的标准双积分器动态模型，基于分布式一致性算法可以设计多AUV的协调控制器：

(14)

其中:τ1,τ2分别代表位置和速度拓扑结构中的不同时变的时间迟延，αij(t)和bij(t)是邻接矩阵Ap和Av的元素(i,j)。

那么，在线性化模型(10)的基础上，通过引入(14)，可以得到由n个AUV成员所组成的编队系统的模型，如下所示：

(15)

其中:⊗表示Kronecker乘积。Lp和Lv表示位置和速度拓扑结构的拉普拉斯矩阵。同时，假设两个拓扑结构的拉普拉斯矩阵可以互相转换，即满足Lv=ULp，其中U表示变换矩阵。

根据位置拓扑Lp和速度拓扑Lv的假设以及引理1可知，Lp和Lv中都有且仅有一个零特征值，那么，一定分别存在两个非奇异矩阵，使得：

(16)

其中:Hp,Vv∈R(n-1)×(n-1),a,b∈Rn-1。

ξ=A+Bξ(t-τ1)+Cξ(t-τ2)=

(17)

其中:ξ、ξτ1和ξτ2分别是ξ(t)、ξ(t-τ1)和ξ(t-τ2)的缩写。

根据Leibniz-Newton公式，时变延迟ξτ1和ξτ2可写为：

(18)

以及:

(19)

把式(18)和(19)代入式(17)，可以得到：

(20)

定理1:对于具有位置和速度双拓扑结构下的多AUV系统(1)，在位置和速度通信拓扑不相同且都包含生成树的假设下，其非线性模型可线性化，且多AUV系统可达到在不同时延下的全局稳定状态，其一致性条件满足：

(21)

并且两个延迟具有边界值：

(22)

证明：为了分析多AUV编队系统的运动状态收敛性。

首先从非零模块角度分析，定义Lyapunov-Razumikhin函数为：

V(ξ)=ξTPξ

(23)

则对式(23)两边求导，并且引入式(20)可得：

(24)

根据各部分的不同，分为以下两部分，第一部分为第一个子函数，即：

(25)

第二部分由其他子函数组成，那么，假设Xi=(1+k)I，Zi=P，(i=2,3,...,7)，Y2=PBA，Y3=PCA，Y4=PB2，Y5=PCB，Y6=PBC，Y7=PC2，则可以得到：

,...,7)

(26)

由引理4，可以得到第二部分各子函数满足以下不等式：

(27)

取函数ψ4(s)=qs，其中常量q>1。根据引理2中的条件(12)，则：

V(ξ(t+θ))<ψ4(ξ(t))=qV(ξ(t)),-τ≤θ≤0

(28)

取qi>1，ri>1,(i=1,2,3),则(24)可以转换为不等式(29)，可得:

3(1+k)τ1ξTξ+3(1+k)τ2ξTξ+

(29)

其中:m=n=3。

不等式(29)可写为：

(30)

其中：

(31)

如上所示，G=P(A+B+C)+(A+B+C)TP是对称矩阵，则：

⊗Im

(32)

另一方面，与文献[13]中相同时间延迟情况类似，状态ε(t)在不同时间延迟情况下也是收敛的，由式子(15)和(16)可知，零模块与非零模块的收敛特性相关联，并且根据上文非零模块ξ(t)→0可知，该收敛过程以指数形式收敛，那么我们可以得知零模块也一定可以收敛，并且满足：

(33)

3 仿真结果

仿真中，多AUV编队时的速度和位置拓扑结构如图2所示，且所有AUV的位置和速度是随机设置(仿真所用模型参数详见文献[7])。

图2 多AUV编队时的位置和速度通信拓扑结构

根据图2中的Gp和Gv的拓扑结构，可以获得其对应的拉普拉斯矩阵分别为：

在不同时变延迟下的编队任务满足定理1的条件，时间延迟设定为τ1和τ2，满足0<τ1+τ2<0.29 s。根据式(22)，假定0<τ1<0.145 s，0<τ2<0.145 s，τ1≠τ2，且k=0.75。根据(14)，多AUV在τ1和τ2下执行编队任务，其仿真结果如图3～5所示。

图3 具有不同延迟的所有AUV的三维轨迹曲线

由图3可以看出，所有AUV的三维轨迹均以随机的位置和速度出发且能达到一致状态。图4为AUVs在接近稳定状态时的位置x，y，z和姿态角θ，ψ的变化情况。此外，所有AUV继续以相同的运动状态和与其相邻AUV的相对位置前进。

图4 具有不同延迟的AUV的位置和姿态变化曲线

图5 具有不同延迟的AUV的速度变化曲线

图5为AUVs的速度状态变化图，其初始状态全部为零。由图5可以看出，所有的AUV在不同位置和速度的情况下也能达到一致状态。

4 结论

本文基于一致性理论解决了不同通信延迟下的具有两种独立拓扑结构的多AUV编队控制问题。利用Lyapunov-Razumikhin理论和状态反馈线性化方法，提出了无领航者的多AUV稳定条件，进而将多AUV编队控制问题可以看作是一致性问题，对于特定的多AUV一致性问题，这些条件可以保证其编队一致最终稳定。本文设计了位置和速度双独立拓扑以减少编队成员之间发送每个数据包中的数据量，仿真结果验证了所提算法的有效性。

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Formation Coordination Control for AUVs Under Different Time-varying Delays

Tang Huiling2, Zhou Jiajia2，He Dongxu2, Zhao Junpeng2

(1.Unit of 92213, Zhanjiang 524064, China;2.College of Automation, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Aiming at the coordination control problem of AUVs formation without a pilot, this paper proposes a consensus method for different time-varying communication delay. Firstly, considering the problem that the underwater communication between AUVs is interrupted due to time delay or data loss, the nonlinear coupling term in the AUV mathematical model is processed by the state feedback linearization theory to convert it into a dual integrator dynamic model. Secondly, the position and velocity dual-independent topology are designed to reduce the amount of data in each packet sent between the formation members for different delay communication situations. Finally, the multi-AUV stability condition is proposed; and then the multi-AUV formation control problem is regarded as the consistency problem.Based on the Laypunov-Razumikhin theorem, the formation coordination control system has been proved to be stable. The control method can not only overcome the influence of different time delay and data loss on the formation, so that all AUVs starting at random positions and speeds can reach the same state, but also suppress external interference. The simulation results are consistent with the theoretical results of the proposed control method.

AUVs; time-varying delays; formation coordination control; consensus theory

2017-04-10；

2017-04-28。

国家自然科学基金( 51609048)；哈尔滨市应用技术研究与开发项目(2016RAQXJ080)；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(2572014BB03)。

唐会林(1973-),男,江苏泰州人,本科生,工程师,主要从事水下探测技术、水下作业工程方向的研究。

1671-4598(2017)08-0088-05

10.16526/j.cnki.11-4762/tp.2017.08.023

U664.73

A