食材最优搭配方案的建模分析

戴宏跃，肖立梅，戴 瑨

（肇庆学院 电子与电气工程学院，广东 肇庆 526061）

食材最优搭配方案的建模分析

戴宏跃，肖立梅，戴 瑨

（肇庆学院 电子与电气工程学院，广东 肇庆 526061）

针对日常生活中主餐食材选择问题，基于营养与成本的最佳搭配，通过数学建模的方法，探求最佳的食材搭配方案.利用计算机软件对数学模型的求解，得出一组最优解即最优食谱搭配方案，经验证该方案完全满足最优要求.

主餐；营养；成本；最佳搭配；数学建模

0 引言

随着社会的发展，人们的健康需求、环保意识也不断进步，人们对饮食的要求越来越精细，同时也更加注重食材的选择和营养的搭配，希望达到营养与成本的最佳组合，这就需要探索研究食谱搭配与优化问题.因为年龄及性别的差异，不同人群对营养的需求也千差万别.基于此，笔者根据本人的实际情况和备用食材情况，研究了一份适于本人的最具性价比的主餐食谱方案，旨在实现营养与成本的完美统一.

1 数学建模

从笔者的生活实际出发，主食主要是米饭或面食，并搭配肉类、蔬菜及水果类等.表1列出了备选食材的主要营养成分含量及时价，假设某天的食材在表1里面选择，这就涉及到在保证营养的前提下，如何选择一套符合要求的最佳搭配方案的问题.根据我国营养学会推荐的合理膳食的构成指标，普通人每天主要营养素的供给量大致如下[1]：

蛋白质：每人每1 000 g体重供给1～1.5 g，占总热量的12%～14%，主要由瘦肉、蛋、乳、大豆与豆制品供给.动物蛋白应占食物总量的1/3.

脂肪：每人每1 000 g体重供给1～1.2 g，占总热量的25%～30%，主要由植物油供给.

碳水化合物：每人每天供给400～500 g，占总热量的60%～65%，主要由谷物类植物食品供给.

表1 每100g食物的主要成分与价格[2]

从表1可以看出，每种食物营养元素的含量都不同，其原材料的价格也存在差异.11～14岁的青少年每天约需要差不多75 g蛋白质和50 g脂肪.根据生活经验可知，人们所需热量因其性别、年龄、身高、体质量的不同而存在差异，这些因素都影响着人对热量的需求.估算不同人群1天所需的热量，通常按下面的公式进行计算：

一般人的运动系数即活动量系数选1.1～1.3不等，活动量越大数值便愈高，甚至有可能高出1.3.若平日只坐在办公室工作的女性，其运动系数为1.1，运动量高的人约为1.3.

现结合某少年的具体情况，利用公式（2）计算日常所需热量.其人的基本参数如下：身高158 cm，体质量43 kg，年龄11岁，运动系数取1.2，将这些数据代入公式（2），得

式中：4.186是热量单位换算率.上式说明，该少年1天所需的热量约为6 612.0 J.该热量通过一日三餐摄入，全天摄入的热量分配通常如下：早餐占30%，午餐占40%，晚餐占30%，这样可以保证1天的热量摄入较均衡.这样，该少年早餐的摄入量约为1 983.6 J，中餐的摄入量约为2 644.8 J，晚餐的摄入量约为1 983.6 J.

现重点考虑中餐的情况，中餐总的热量摄入量为2 644.8 J，除去其他饮料、水果等热量的摄入，主餐摄入约为2 093 J.该少年1天的蛋白质摄入不少于50 g，中餐摄入约40%，即20 g.1天脂肪摄入量不少于40 g，中餐摄入约40%，取15 g；碳水化合物摄入量不少于400 g，中餐摄入约40%，取100g；1天Ca的摄入量不少于1 000 mg，考虑到早餐钙摄入量较大，中餐取30%，约300 mg.坚持每顿的主食米饭或面食不多于400 g，如果有鸡蛋的话，则鸡蛋量不大于100 g.本研究旨在根据以上设想，从表1所示备选食物中进行合理搭配和选择.这样既能满足人体基本所需，又能保证成本较低，达到食谱的最优组合.

下面建立数学模型，通过数学模型探求最佳组合方案.为了便于建模，现作如下假设（单位：kg）：

x1=米饭量，x2=面条量，x3=瘦肉量，x4=鸡蛋量，x5=西兰花量，x6=大白菜量，x7=冬瓜量，x8=胡萝卜量.

那么要求当餐的饮食花费（假设为Z）的最小值即为目标函数，写成

根据上面的分析，目标函数里的相关系数应该满足下列条件，即为约束函数：

上面式（4）与式(5)～(12)即为建立的数学模型，其中式(4)为目标函数，式(5)～(12)为目标函数的约束条件.因为模型涉及到的未知数太多，手工计算工作量太大，而且容易出错，现利用LINGO软件进行求解[3].

LINGO软件是Linear Interactive and General Optimizer的缩写，即“交互式的线性和通用优化求解器”，由美国LINDO系统公司（Lindo System Inc.）推出，可以用于求解非线性规划，也可以用于一些线性和非线性方程组的求解等，功能十分强大，是求解优化模型的最佳选择.该软件使用非常简单，只要将上述模型按照软件的语法格式如图1所示输入，然后点击“LINGO”菜单，在下拉菜单中点击“Solve”进行求解，经过一系列迭代求解以后，即可得出如图2所示的输出结果.

从图2所示的输出结果可得

最后得出中餐的最优组合为米饭、瘦肉、鸡蛋与大白菜的组合，其中：

米饭为3.405 125×100≈341 g,

瘦肉为0.751 747 4×100≈75 g,

鸡蛋为1.000 000×100≈100 g,

大白菜为3.290 707×100≈329 g.

最低花费为 0.5×3.41+2.8×0.75+0.8×1.00+0.6×3.29≈ 6.58元.

图1 模型输入

图2 输出结果

2 讨论与拓展

本文的主要研究目的是对食材最优搭配方案进行建模分析，要求成本较低，又能达到人体每顿饭所需的营养摄入量.力求在上述约束条件下，通过合理建模获取最优方案.如果有大量食材，每天要得到不同的组合方案，则仅需更换样本即可.利用本文所示数学模型，同样可以得到不同的优化方案.基于篇幅所限，此处不予重复.

本文的方法具有灵活的扩展性，考虑到数学建模分析的方便以及普通人对主食的要求，笔者选取了8种常用食材作为样本.通过对所建立数学模型的优化迭代运算，最后得到4种食材作为最优组合方案，这也是普通人一顿饭所需的食材数量.尽管普通人一顿饭很少吃上更多（比如7～8种）食材，但是考虑到特殊情况，比如想从更多的食材中（20～30种）选取由更多食材（比如7～8种）组成的最优方案，本文的建模方法同样适用.只要改变模型中的样本数量，改变约束函数、目标函数的参数数量，就可以得出最优结果.

3 结论

本文中，笔者首先阐述了估算普通人一天所需主要营养成分的方法；同时给出了备选食物的主要营养成分；接着论述了青少年每日所需能量的估算公式，然后根据某少年的具体情况，算出其人1天所需摄入的能量，重点分析了其中一餐所需摄入的能量及主要营养成分.在此基础上，基于成本最低的目标建立数学模型，并利用计算机软件解出最优解，得到一套最优的食材组合方案.验算结果表明，该数学模型实现了预期要求，达到了设计目标.

[1] 中国营养学会.中国居民膳食营养素参考摄入量[M].北京:中国轻工业出版社,2006.

[2] 王光亚.中国食物成分表[M].北京:北京大学医学出版社,2009.

[3]Lindo System Inc.LINGO11 User Manual[M].Chicago:Lindo System Inc,2008.

Modeling andAnalysis of the Optimal Ingredient Scheme

DAI Hongyue,XIAO Limei,DAI Jin
（School of Electronic and Electrical Engineering,Zhaoqing University,Zhaoqing,Guangdong 526061,China）

Based on the best collocation of nutrition and cost,the mathematical modeling method is applied to explore the best solution of ingredients combination in the main meal.By using the computer software to solve the mathematical model,a set of optimal solutions,that is the optimal solution of ingredients combination,is obtained.It is proved that the scheme meets the optimal requirements completely.

main meal;nutrition;cost;optimal collocation;mathematical modeling

TS201.4

A

1009-8445（2017）05-0009-04

2017-03-31

戴宏跃(1974-),男，湖南武冈人，肇庆学院电子与电气工程学院讲师,博士.

（责任编辑：陈 静）