断环区域上的二重积分

傅守忠，梁小芬

（肇庆学院 数学与统计学院，广东 肇庆 526061）

断环区域上的二重积分

傅守忠，梁小芬

（肇庆学院 数学与统计学院，广东 肇庆 526061）

本文讨论了将断环区域上的二重积分化为累次积分的计算方法，并给出几个利用该方法计算会变得相对简单的实例．

断环区域；二重积分；累次积分

0 引言

1 断环区域上二重积分的计算公式

引理1[1-2]若f(x,y)在xy平面的闭区域D上可积，又设极坐标变换

将rθ平面上的区域Δ变换为xy平面上的区域D,则

定理1[1]249设xy平面中的区域D为断环区域，即在极坐标下可表示为

证 由引理1和二重积分化累次积分的计算方法可直接得到.

推论1 被积函数f(x,y)≡1的二重积分等于积分区域的面积，特别在上述定理的区域中

2 断环区域上二重积分示例

例1 求区域D的面积，其中D于极坐标下是在r=1和r=2围成的环内，被极轴θ=0和曲线所截部分(见图1)．

解 根据第1节中的推论，区域D的面积为

注：若用θ-型区域，则

图1 例1的积分区域

图2 例2的积分区域

解 区域D在极坐标下可以表示为

图3 例3的积分区域

解法1（将D看做R-型区域） 由于积分区域对于变量y是对称的，而被积函数又是y的偶函数，因此只需计算上半区域的积分.又因圆x2+(y-1)2=1的极坐标方程为r=2sin θ,所以区域D的上半部分在极坐标下可以表示为

根据定理1得

注意到坐标原点(0,0)(即r=0)是被积函数唯一可能的瑕点（当α＜-1时），先考虑区域

上的积分，

再令ε→0+,上式当且仅当α＞-4时收敛，此时

解法2（将D看做θ-型区域） 区域D的上半部分在极坐标下也可以表示为

类似地，先考虑区域Δδ上的积分，其中

情形1:当α=-3时，

当ε→0+时，上式收敛，且其极限为1.

情形2:当α=-4时，

当δ→0+时，上式极限不存在.

情形3:当α≠-3且α≠ -4时，

令δ→0+,则在该情形中当且仅当α＞-4时收敛，且

注：在直角坐标下计算，该积分所化成的累次积分非常复杂；在极坐标下，用θ-型区域计算比用R-型区域计算要复杂许多.

综合情形1～3可得，当且仅当α＞-4时原积分收敛，且

3 小结

本文所构造的3个二重积分的例子，无论是在直角坐标下化累次积分，还是在极坐标下化作先对r再对θ的累次积分，都比较繁琐；而化成先对θ再对r的累次积分，则相对简捷．

[1] 华东师范大学数学系.数学分析:下册[M].北京:高等教育出版社,2011:211-243．

[2] 欧阳光中,朱学炎,金福临,等.数学分析:下册[M].3版.北京:高等教育出版社,2007:269-315．

The Double Integrals with Broken Ring Domain

FU Shouzhong,LIANG Xiaofen
(School of Mathematics and Statistics,Zhaoqing University,Zhaoqing,Guangdong 526061,China)

The calculation of the double integral on broken ring domain by using repeated integral are discussed and some examples to apply this method are given.

broken ring area;double integral;repeated integral

O172.2

A

1009-8445（2017）05-0005-04

2016-12-23

广东省高校教学质量与教学改革工程建设项目(2014JP217)

傅守忠(1966－),男,内蒙古卓资人,肇庆学院数学与统计学院副教授,博士.

（责任编辑：陈 静）