举例说明换元法在处理函数问题中的应用

刘道梅

在数学教学中，我们经常将某些式子视為一个整体，设出一个变量代替它们，从而使问题得到简化，这就叫换元法，又称辅助元素法、变量代换法。换元法是一种变量代换，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，从而使问题得到简化，换元的实质是转化。它可以化繁杂为简单：在高次为低次、化超越式为代数式、化分式为整式、化无理式为有理式，体现了“化归思想”在解题中的具体应用，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题上有着广泛的应用。恰当地引入新的变元，不仅沟通了题目中各量之间的内在联系，还改变了数量关系的结构，从而使复杂问题的结构简单化、变量关系明显化、问题的背景熟悉化，进而结合相关问题的处理方法，使复杂的数学问题轻松获解。

一般情况下，对于结构复杂的数学问题，首先应观察题设条件的关系及目标式的结构特点，以统一结构为目的，选取合适代数式赋予新变元，然后施行换元，再根据新的变元间的关系及结构特点，寻找解决问题的具体方法。

结语：处理有关含参的函数导数压轴问题时，参数的位置无疑决定了函数结构的繁杂程度和解题难度，往往需要我们调用众多的知识技能和思想方法。很多人在解决该类综合问题时之所以受困遇阻，根本原因就是数学知识方法的联系性和系统性薄弱。可以说，换元法作为中学数学的常用方法，若能巧妙用于化解有关含参的函数综合问题，则可实现参数位置的转移和问题表征的转化，发挥了去繁从简、柳暗花明的解法功能。同时，换元法的灵活运用，也必将有利于我们追索复杂问题的题源或原型，从而挖掘出其相关的问题变式！

（作者单位：河南省南阳市桐柏县中等职业学校）