例谈构造法在高中数学解题中的应用

张连吉

用构造法解题时，其核心思想是“构造”，它贵在“创新”，常表现出简洁、明快、精巧等特点。利用构造法解题时，从构造的内容可分为数、式、函数、方程、数列、不等式、复数、图形、向量、数学模型等。下面的例子可以看出这些想法的实现是非常灵活的，没有固定的程序和模式，不可生搬硬套。但可以尝试从中总结规律：一要明确构造的目的，即为什么目的而构造；二要弄清楚问题的特点，以便依据特点确定方案，实现构造。下面按构造内容的不同将构造方法分成如下几类分别予以举例说明。

一、构造函数

在求解某些数学问题时，根据问题的条件，构造一种新的函数关系，使问题在新的观念下转化并利用函数的有关性质解决原问题是一种行之有效的解题手段。构造函数证明、解答、问题是一种创造性思维过程，具有较大的灵活性和技巧性。在运用过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要证、要解的目标。

二、构造方程

方程作为中学数学的重要内容之一，与数、式、函数等诸多知识密切相关。根据问题条件中的数量关系和结构特征，构造出一个新的方程，然后依据方程的理论，往往能使问题在新的关系下得以转化而获解。

说明：从题中给出的条件，信息量太少，如果从形式上入手，发现它们共同的形式与平面向量在坐标运算下的数量积有关，故可尝试构造向量来解题。

五、构造复数

复数是实数的延伸，一些难以解决的实数问题通过构造转化为复数问题，虽然数的结构会变复杂，但常使问题简明化，正所谓“退一步海阔天空”。

六、构造几何图形（体）

一般来讲，代数问题较为抽象，若能通过构造将之合理转化为几何问题，利用“数形结合”这一重要思想方法，往往可增强问题的直观性，使解答事半功倍或独具匠心。

说明：如果问题条件中的数量关系有明显或隐含的几何意义与背景，或能以某种方式与几何图形建立起联系，则可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接在图形中得以实现，然后，借助于图形的性质在所构造的图形中寻求问题的答案。构造的图形，最好是简单而又熟悉其性质的图形。这些几何图形包括平面几何图形、立体几何图形以及通过建立坐标系得到的解析几何图形。

构造不是无中生有，而是根据问题中的条件发现问题的本质，找到不同数学知识间得联系，通过构造有些问题可以达到化难为简、“柳暗花明”的目的。最后还应指出，构造法并非是上述题型的唯一解法，并且构造法也不只限于本文提到的幾种，对于同一道题既能有几种构造法，也可以用其他方法来解。

（作者单位：云南省曲靖市第一中学）