浅析用基本不等式求函数最值

李莎

基本不等式：

在使用基本不等式时，要注意把握四个方面，即“一正，二定，三相等，四同时”。一正即各项都是正实数；二定即和为定值或积为定值；三相等即等号能否取得到，若取不到，可以利用“对勾函数“的单调性解题；四同时即多次使用基本不等式，等号要同时成立。

一、利用基本不等式求最值要注意条件的验证

若 时，满足不等式条件，可以直接利用基本不等式求最值；若 时，需要先轉化成 ，才能利用基本不等式求最值。

例1 若 ，求函数 的值域.

解：因为 ，所以 ，则 ，因为

所以 ，当且仅当 时，即 时， .故函数 的值域为 .

二、通过代数变换配凑成使用基本不等式的形式

通常会出现“二次比一次”，“一次比二次”，“二次比二次”这三种类型.（1）对于“二次比一次”和“一次比二次”的类型，基本思路都是对一次函数整体换元，求出新的变量的范围，转化为对勾函数；（2）对于“二次比二次”的类型，一般先分离常数，然后转化成一次比二次的类型，再来求解。.

例2 已知 ，求 的最小值.

解：令 ，则 ，代回原式可得 ，

由 和对勾函数的性质可知，当 时，此时 ， .

三、“1”的变换或正常数a的变换

利用题目中的条件“1”或正常数a代换成给定的代数式，然后将需求解的函数乘以该代数式，化成可以使用基本不等的形式。

例3 已知 ，且 ，求 的最小值.

解：因为 ， ，所以

，當且仅当 ，即 时， .

四、在求二元函数最值中应用转化思想和方程消元思想

例4 若实数 ，满足 ，求 的最小值。由等量关系可知，只要将需要求解的部分 之外的部分 利用不等式转化为所求形式，然后解不等式即可。

解法一（基本不等式）：由 ，当且仅当 时取等号.令 ，则 ，整理得 ，解得 或 （舍去），即 ，此时， =3.

解法二（判别式法）：令 ，则 ，代入原式得， ，整理得：

， ，解得 或 （舍去）， ，解得 =3满足题意，即 .

五、灵活选择和运用基本不等式的变式

要灵活选择和运用基本不等式，主要在于能观察出所求式子与题目中给的条件的联系，运用基本不等式灵活建立两者之间的联系。

例5 设 ， ，求 的最大值.

解：因为 ， ，所以

，当且仅当， 时等号成立，解得 ，

故 .

纵观上述求函数最值五种类型，在使用基本不等式时，一定都要把握住四个方面，即“一正，二定，三相等，四同时”。这四个方面缺一不可，若忽略了某个条件的检验，都有可能会出现。.