在错误中挖掘线性规划知识的真相

史红静 王得勇

摘 要：数学是一门严谨的学科，它追求局部与整体的和谐与尽善尽美。线性规划为在不等式约束条件下求最值的问题打开了一扇门，它通过转化与数形结合的思想，以形助数，能够有效解决目标函数的最值和范围问题。它不但能够回避代数方法中遇到的不等式多次加、减带来的范围扩大的困难，而且能较方便地找到非线性目标函数的最值，学生在认知冲突的错误解法中不断调整方案，弥补不足，获得了解决问题的有效方法。

关键词： 不等式；线性规划；目标函数；最值

【中图分类号】 O122.3 【文献标识码】A 【文章编号】2236-1879（2017）05-0098-02

数学是一门抽象性和逻辑性很强的科学，它追求局部和整体的严谨与完美。而抽象的数学知识又常常可以結合其转化的图形来辅助理解。所谓以形助数，以数解形，从而利用数形结合的思想解决问题。高中数学必修五第三章线性规划的知识就是典型的数形结合的应用。

解决线性规划问题的最有效的手段是利用区域和目标函数的关系，采用转化的思想方法，将目标函数转化为几何意义，利用区域特征进行研究。然而，为什么要转化为线性规划？不等式为什么不能像解方程组一样多次叠加？是学生们学习线性规划时，首要面临解决的问题。

为了给学生制造认知冲突，不妨先举一个如下的简单的例子：请同学们找出下面推导过程中的不合理之处

引例1：假设0

故0

因此，两个不等式相加得：-1<2x<3，所以-12

不难发现，推导过程中的每一步都没有错误，最后的结果却把变量x的范围放大了。这说明了多次应用不等式加、减法得到的范围是不准确的。

接下来提出下面的例子，让学生思考，推导过程是否合理？

例题：已知1≤x+y≤5，-1≤x-y≤3，求2x-3y的取值范围。

错解：因为1≤x+y≤5，-1≤x-y≤3，所以0≤2x≤8，所以0≤x≤4。

因为1≤x+y≤5，-3≤y-x≤1，所以-2≤2y≤6，所以-1≤y≤3。

所以0≤2x≤8，-9≤-3y≤3，

因此-9≤2x-3y≤11。

通过引例1的铺垫，学生很快发现上面的这种方法多次应用了不等式的加、减法，因此得到的范围一定是偏大的。那么如何来避免产生这样的问题呢？学生陷入了思考和激烈的讨论，最终给出了如下睿智的解决方案。

正解1：设2x-3y=k1（x+y）+k2（x-y）=（k1+k2）x+（k1-k2）y，

则k1+k2=2k1-k2=-3，所以k1=-12k1-k2=52，

因为1≤x+y≤5，-1≤x-y≤3，所以-52≤-12（x+y）≤-12，-52≤52（x-y）≤152，

因此-5≤-12（x+y）+52（x-y）≤7，即-5≤2x-3y≤7，

因此2x-3y的取值范围是[-5，7]。

显然上面的推导过程不等式的加减法只用了一次，因此范围是准确的。那么这是从代数的角度思考的这个问题，其应用的是构造和方程的思想。如果我们考虑问题的几何意义，已知条件中的不等式约束条件，其几何意义恰为前一节课刚研究过的平面区域，那么所求的形式可以看成是我们的目标，这里称为目标函数，因此可以得到如下的解法：

正解2：由已知得不等式组1≤x+y≤5-1≤x-y≤3，其对应的线性区域如下图1：

最大时，即直线过点A（2，3）时，z取最小值，为zmin=-5。

当截距-13z最小时，即直线过点B（2，-1）时，z取最大值，为zmax=7。

因此，2x-3y的取值范围是[-5，7]。

对比两种解法，无论是代数方法还是数形结合的方法得到的范围是一致的。特别要注意的是正解1中不等式加、减法只能用一次，否则，得到的范围可能被扩大。进一步思考下面的拓展问题。

拓展训练：已知1≤x+y≤5，-1≤x-y≤3，求x2+y2的取值范围。

显然，拓展训练中的已知条件与例一的完全一样，然而所求的目标函数的形式x2+y2是二次的，无法采用正解1的代数方法构造出用x+y和x-y线性表示x2+y2。因此，考虑正解2的方法，我们只需：令新的目标函数为z=x2+y2，它的几何意义是图1中区域内任意点到原点距离的平方。显然，由图可知，最小距离为dO-直线BC=12，则zmin=（12）2=12。

區域内点D（4，1）到原点距离的平方最大，为dOD=17，则zmax=（17）2=17。因此x2+y2的取值范围为[12，17]。

通过前面问题的层层深入的挖掘，学生体会到了求不等式范围与“解方程时等式可以多次加减”的不同之处，在不等关系的约束条件下，求目标函数的范围问题常采用数形结合的思想转化为线性规划问题，其无论从降低问题的难度，还是处理、分析问题的广度来说，都更加的灵活和完善。学生在错误中反思，探索中寻找到知识的真相，体会到了数学的严谨性和整体性。在“冲突”的产生，化解和发展过程中，主动建构、完善了新知识，并有效防止错误方法的应用。

通讯地址：北京市通州区新华南路135号，邮编：101149