吹尽黄沙始见金<br/>——跨过恒成立与存在性问题的“层峦叠嶂”

吹尽黄沙始见金
——跨过恒成立与存在性问题的“层峦叠嶂”

2017-10-18江苏省锡东高级中学

中学数学杂志 2017年17期

☉江苏省锡东高级中学叶琳

吹尽黄沙始见金
——跨过恒成立与存在性问题的“层峦叠嶂”

☉江苏省锡东高级中学叶琳

从2008年江苏实施新高考方案以来，恒成立与存在性问题多次考查，经常以中档偏难题呈现，其呈现的背景、方式也多种多样，题目富有变化和新意，像2008年第14题“任意x∈［-1，1］都有f（x）≥0成立”，2014年第10题“任意x∈［m，m+1］都有f（x）＜0成立”、第19题“…在（0，+∞）上恒成立”、“存在x0∈［1，+∞） …”、2016年第19题“任意x∈R，不等式...恒成立”等是以函数、导数为背景出现的，2008～2011年解析几何中均出现了“存在…”、“任意…”、“证明…过定点”等字样；2011、2013、2014、2015年数列题中也都呈现了“任意整数”、“是否存在”等字样，其中2013年的数列题隐含考查了恒成立问题.恒成立与存在性问题，较好地考查学生的能力与素养.但它的出现使得数学问题意深难懂，神秘莫测，学生难以下手.解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱，还数学问题的本来面目，下面笔者结合“恒成立问题和存在性问题”的课堂教学，谈谈自己的看法，以请教于同行.

一、感悟真题，准确定位

【教学片段一】

师：从近几年江苏高考试题统计分析可以看出恒成立和存在性问题是高考的热点也是难点，谁能告诉老师这类问题解决的方法是什么？

生1：有的可以用分离参数来处理，有的可以转化为函数的值域来处理.

生2：还可以用数形结合的思想来解决.

师：看来大家对这类问题已经非常熟悉了，那么用刚才同学们所说的方法能不能处理所有的这类问题呢？今天这节课我们一起来探究这类问题的解法.

问题1（2014年江苏卷19题）已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围.

师：我们先请一个同学起来读题，然后圈出重要条件进行分析.

生3：通过读题可知，题目条件中明确给出了“恒成立”的字眼，采用分离参数，利用结论“f（x）≥m⇔（fx）min≥m”即可.由m（fx）≤e-x+m-1，得m［（fx）-1］≤e-x-1.因为x＞0时ex＞1，因此（fx）=ex+e-x＞2，即（fx）-1＞0，所以，解得m≤-

师：分析的很到位，处理过程中我们还运用了换元法和基本不等式等知识来解决问题.如果是“存在x∈D，f（x）≥m成立”该怎么处理呢？

生齐答：f（x）max≥m.

师：非常好，看来同学们对恒成立和存在性问题已经有了较深的理解.

评析：教学过程中笔者发现很多学生解题时有审题不清的缺点，匆匆读题后就急于下手，结果不是条件漏看了就是看错了.在教学过程中，笔者要求学生进行读题训练，养成把题目条件圈出来的习惯，减少审题马虎导致的错误，慢慢养成细心的习惯.

【教学片段二】

问题2函数f（x）=x-ln（x+1），若对任意的x∈［0，+∞］，有f（x）≤kx2成立，求实数k的最小值.

笔者巡视教室发现很多学生是用变量分离法来处理的：

师：为什么变量分离失效了呢？（教室里安静片刻，有学生在下面窃窃私语）

生4：我化简到（*）式就没有再做下去，直觉告诉我太繁了，化简到（**）式是需要一定的运算技巧的，即使令h′（x）=0得到的也不是我们熟悉的方程，我放弃了.

师：有更好的办法吗？

生4：构造函数来处理，由f（x）≤kx2得x-ln（x+1）≤kx2，令g（x）=x-ln（x+1）-kx2，则只要满足g（x）≤0即可，应该能做出来.

师：同学们觉得她的方法可行吗？

生5：应该可以的，就是要分类讨论，也有点繁.（其他同学沉思片刻，纷纷点头）

师：大胆尝试，说不定惊喜就在不远处等着我们：

令g（x）=x-ln（x+1）-kx2，则g（′x）=

（1）当k≤0时，有f（1）=1-ln2＞0，此时f（1）＜k不成立，故k≤0不合题意，舍去.

师：请同学们比较两种思路，你有什么收获？

生6：两种思路的本质是都是归结为函数的最值问题，分离参数只是一个解题手段而已，它不是万能的，我们不能思维定势，看到恒成立问题就去参数分离，有的时候会走进死胡同.

师：我们要用辩证的眼光看待参数分离，参数分离可以避免分类讨论，简化计算过程，但是不能思维定势，在读题后要先思考去判断参数分离的可行性，有些问题只能通过构造函数通过分类讨论来解决问题.

评析：课堂中给学生充分的思考时间，针对学生不同的解法进行剖析，去判断各种解法的优劣性，有助于寻求解决数学问题普遍规律的途径.在问题2的处理上，思路1中出现的h′（x）=（**）在文2中提倡补充洛必达法则等高等数学知识来解决问题，笔者认为学生没有系统全面地学习高等数学，而是断章取义地学习洛必达法则带有功利性色彩，学生不可能熟练掌握，灵活运用，无疑增加学生的负担.教学中应该注重通性通法，淡化技巧，用本真的数学来解题，这有利于中学数学教学去功利性的良性发展.

二、登高望远，再进一步

【教学片段三】

师：为了加深对上述问题的理解，我们对其进行变式.

变式1：已知函数f（x）=x-ln（x+1），g（x）=kx2，若对任意的x∈［0，+∞），都有f（x）≤g（x）恒成立，求实数k的最小值.

生7：分离参数求解.

师：很好，同学们可以自己对该题变式吗？

生8：若对任意的x∈［0，+∞），f（x）的图像恒在g（x）的下方，求实数k的最小值.

师：应该如何求解呢？

生8：f（x）（g（x）恒成立啊，跟变式1一样.

师：很好，“f（x）的图像恒在g（x）的下方”，问题表述变化了，但是问题本质没有变.

师：趁热打铁，还有其他的变式吗？（学生思考片刻没有回应）

师：我们经常研究的都是一个函数，能否把视野放宽一点，研究两个或者两个以上函数的恒成立问题？

变式2：若对任意的x1∈［1，2］，x2∈［1，2］，都有f（x1）≤g（x2）恒成立，求实数k的取值范围.

师：变式2和变式1有什么不同？

生齐答：变式1是同一个x，变式2是两个不同的x.

师追问：两个变式之间有联系吗？

生9：变式1中虽然有两个函数，但只有一个变量x，可转化为一个函数来处理，令h（x）=f（x）-g（x），则h（x）≤0恒成立，只要满足h（x）max≤0即可.变式2是两个不同的x，分别看成两个函数，求出f（x）和g（x）的最值，满足f（x）max≤g（x）min.

师：刚才的变式是与恒成立有关的，我们还可以把它变成存在性问题，能试试吗？

生10：（变式3）若对任意的x1∈［1，2］，存在x2∈［1，2］，使得f（x1）≤g（x2）成立，求实数k的取值范围.

师：非常漂亮的变式，条件中同时出现了“任意的”和“存在”等量词，我们该怎么处理呢？

（教室里鸦雀无声，学生陷入了沉思.刚才总结的结论套不上啊）

师：变式3是关于（fx）和g（x）的两个函数，很多同学在“任意的x1∈［1，2］，存在x2∈［1，2］，使得（fx1）≤g（x2）成立”的理解上出现错误，我们把它抽丝剥茧，把任意的和存在两个量词分为两个层次来理解就简单多了，首先“任意的x1∈［1，2］，（fx1）≤g（x2）成立”即（fx）max≤g（x2），因为1-ln2≤f（x）≤2-ln3，故“存在x2∈［1，2］使得2-ln3≤g（x）2”“，存在”是指至少有一个x2满足2-ln3≤g（x2），因为k≤g（x）≤4k，所以2-ln3≤4k，即k≥.变式中渗透了“存在性”和“恒成立”问题，大家对此也有了新的认识，下面大家再动手自我编题试试.

学生在编题解题的过程中，互相讨论，笔者教师巡视，不时地参与其中，适当点拨.

师：大家编题的热情高涨，哪个同学来总结一下？

生11：我们总结了一下，大致有以下几种情况：

假设函数f（x）、g（x）在给定范围内都存在最大与最小值，值域分别为A，B.

（1）∀x1，x2∈D，使f（x1）≤g（x2）⇔f（x）max≤g（x）min；

（2）∀x1∈D1，∃x2∈D2，使f（x1）≤g（x2）⇔f（x）max≤g（x）max；

（3）∃x1∈D1，∀x2∈D2，使f（x1）≤g（x2）⇔f（x）min≤g（x）min.

话音刚落，生12站起来了，老师还可以这样：“∀x1∈D1，∃x2∈D2，使f（x1）=g（x2）⇔A⊆B（f（x）的值域是g（x）的子集）”.

师：很好，这些变式，虽然条件变化多样，但是我们只要抓住数学问题的本质，就能轻松解决.

评析：让学生对题目进行变式，从不同条件下“恒成立和存在性”问题的认识过渡到一般问题的探究，寻找知识之间的联系，把握知识的本质属性，发现数学的内在美和统一美，让学生亲身经历以不变应万变的成功体验，更好地体会等价转化和化归等重要数学思想.