由曲线外一点引曲线切线的斜率问题探究

☉江苏省扬州市仙城中学 杨 翠

由曲线外一点引曲线切线的斜率问题探究

☉江苏省扬州市仙城中学 杨 翠

近几年的高考试题或各地模考试题中，解析几何部分是命题的重点题型，圆锥曲线更是高考的重点、难点和热点.其中有一类过曲线外一点引曲线切线的问题出现的频率增高，而且也是学生的弱点，因此，笔者将此类问题由浅入深，逐步剖析，以便学生能及时掌握.

一、引例

题目 已知点P是圆C：x2+y2=1外一点，设k1、k2分别是过点P的圆C两条切线的斜率.若点P坐标为（2，2），求k·1k2的值.

解：设过点P的切线斜率为k，方程为y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0.因为直线与圆相切，则d==1，化简得3k2-8k+3=0，所以k·1k2=1.

师：k·1k2=1，从方程角度看，你有什么新的发现？

教师引导学生探究发现k1，k2的联系，且从两切线斜率生成来源去总结归纳出：k1，k2为联立出关于k方程的两个根.化归本质问题即为圆外一点向圆作切线可以作两条，根据题意设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径列出关于斜率的方程，由韦达定理表示k1，k2之积问题迎刃而解，方程解法自然生成！

二、多角度探究

我们知道，学生要掌握相应的知识与技能，全方位地体验感知知识的形成发展，就必须要让学生从过程与方法上、从认知上提升能力，还要进行知识的再创造.因此，笔者对本题充分挖掘，实施多方面多角度的探究，让知识能力提升新的高度.

角度1已知点P是圆C：x2+y2=r2外一点，设过点P的圆C两条切线的斜率分别是k1、k2，则k·1k2是否为定值？

若P（x0，y0）坐标满足=λ（-r2）+r2，则k·1k2=λ定值.

角度2已知点P是圆C：x2+y2=r2外一点，设k1，k2分别是过点P的圆C两条切线的斜率，若k1·k2=λ（λ≠1，0），求点P的轨迹M的方程，并指出曲线M所在圆锥曲线的类型.

解：仿照以上解法容易得到k·k==λ，即所求12的曲线M的方程λ=（λ-1）r2，其中x≠±r.

若λ∈（1，+∞）时，圆锥曲线M是焦点在x轴上的双曲线；

若λ∈（0，1）时，圆锥曲线M是焦点在y轴上的双曲线；

若λ∈（-1，0），圆锥曲线M是焦点在x轴上的椭圆；

若λ=-1时，曲线M是圆；

若λ∈（-∞，-1）时，圆锥曲线M是焦点在y轴上的椭圆.

我们知道椭圆与圆有渊源关系，那么椭圆是否也具有该性质？3已知椭圆E：=1.过圆O：x+y=r（a

角度222上任意一点P作椭圆E的两条切线，若两切线的斜率都存在，则两切线的斜率之积是否为定值？

解：仿照以上解法容易得到k1·k2==λ，即所求的曲线M的方程λ=λa2-b2，x≠±a.

若λ∈（-1，0）时，圆锥曲线M是焦点在x轴上的椭圆；

若λ=-1时，曲线M是圆；

若λ∈（-∞，-1）时，圆锥曲线M是焦点在y轴上的椭圆.

三、教学感悟

《普通高中数学课程标准（实验稿）》中强调知识与技能、过程与方法和情感态度价值观.对于高三的学生来讲知识已经全部覆盖，不存在知识的盲点，但是解题技能和解题方法有待于进一步的提高，解题过程中的思维有待于进一步的提炼.高三的数学课不是“昨日重现”，因此高三的数学复习课是一堂堂精彩的研究课.

1.关注学情考情进行教学设计

俗话说“知己知彼，百战不殆”.高三的复习课强调的是针对性和有效性，而要做到这两点必须了解学生的实际情况，他们的能力水平和认知水平究竟在哪个层面，过高或者过低都不能做到有效教学.本节课笔者从学生的实际出发，充分挖掘学生出问题的根源，从知识层面、认知层面和能力层面进行全方位的反思，有针对性的教学.根据学生的困惑，笔者给出了知识回顾，引导了解题方向，架设了学生熟悉的桥梁，扫除了“拦路虎”.表面上看让学生从起点出发但是在层层递进的过程中让学生对所学的知识有了一个系统的认识，提高了综合运用知识的能力.

2.改变教学方式提升学生学习数学的兴趣

目前由于多种原因很多学生不喜欢学习数学，对于学习数学没有兴趣，网上甚至有“数学滚出高考”的呼声.这与数学本身抽象、逻辑性强、难学有很大的关系，但与教师刻板的“概念+例题+练习”的教学模式也不无关系.高三的数学课不是“炒冷饭”，不是教师的“一言堂”.教育家苏霍姆林斯基曾经告诫我们：“希望你们要警惕，在课堂上不要总是教师在讲，‘一言堂’的这种做法不好，师生互动才能产生好的教学效果，让学生通过自己的努力去理解的东西，才能成为自己的东西，才是他真正掌握的东西.”学生学习兴趣的激发贵在学生的参与，学生只有从亲身实践中获得成功才会享受成功的喜悦.本节课笔者并没有把试卷上错误的题目进行简单的讲解，而是通过一系列的设问让学生充分地参与，通过层层铺垫不断地给学生搭阶梯让他们自己走向“舞台”尽情的表演，在变换解决问题中发挥数学思维的力量.本节课中没有强调，但学生发现、记住、理解、深化、应用了知识；没有高考，但学生足以应对高考，体现了“教师主导，学生主体”的教学理念.

古人云“会当凌绝顶，一览众山小”，只有当自己站得更高才能看解得更远.高三复习的“根”在教材，我们在平时的教学中要立足学生的实际，以课本为本，以“课标”为纲，以《考试说明》为指导方向，开展有效教学，让高三的复习课成为学生的助推器，助推他们爬上成功的阶梯.