常规中蕴能力深度 平实间含思维广度*——2017年高考数学全国Ⅲ卷试题评价与教学启示

☉广东省信宜市信宜中学 吴国英

☉广东省信宜市信宜中学 容 敏

☉广东省信宜市信宜中学 林 生

常规中蕴能力深度 平实间含思维广度*
——2017年高考数学全国Ⅲ卷试题评价与教学启示

☉广东省信宜市信宜中学 吴国英

☉广东省信宜市信宜中学 容 敏

☉广东省信宜市信宜中学 林 生

2017年高考全国Ⅲ卷（数学）以立德树人，服务高校人才选拔，导向中学数学教学为命题出发点，做到深刻而不深奥，简约而不简单.在结构、题型、主干知识等方面延续了去年的命题风格，保持了相对的稳定，既全面深入考查了高中数学基础知识、基本技能和基本方法，又多角度、多层次地考查了学生的数学素养和能力，同时加强对理性思维的考查，渗透数学文化，突出对创新应用能力的考查，试题还关注社会发展，引导考生运用所学数学知识解决生活实际问题，富有时代气息.是一份“常规中蕴能力深度，平实间含思维广度”的好试题.该试题有利于科学选拔人才，有利于深化课程改革，有利于促进社会公平，对培养学生的创新精神、实践能力，提升学生核心素养的数学课程、教学改革都有积极的导向作用.

一、特色分析

（一）削枝强干，加强主体内容

2017年高考数学全国Ⅲ卷试题对主干内容都进行了强化，即不刻意追求知识点的覆盖率，不回避重点知识、主干知识的考查.同样，今年高考的主干知识的分值也继续保持稳定.见表1：

表1：2017年高考数学全国Ⅲ卷考查的知识点分布情况表

通过上表的分值可知：今年的试题既全面考查基础知识、基本技能，又突出主干知识的考查，如重点知识：三角函数，数列，概率统计，立体几何，解析几何，函导数与方程等高中数学知识体系中的六大知识板块中都体现得较为分明，并且选做题中删除了“几何证明选讲”，其余2个选考模块的内容和范围都不变，考生从“坐标系与参数方程”“不等式选讲”2个模块中任选1个作答，这对引导中学数学教学起到了良好的作用.

（二）立足基础，突出能力

今年高考数学全国Ⅲ卷高考题敢于摒弃刻意包装的华丽和细枝末节上的雕琢，努力追求自然平和的考查状态，做到深刻而不深奥，简约而不简单，整份试卷重视回归基础，强调通性通法，既坚持稳定又着力内容题型的创新，确保能力甄别功能.下面对今年文、理基础题的统计分析，得表2.

表2：各种题型基础题的分布及比例

通过表2分析可知：无论是文科还是理科考查“双基”的知识点比例比较高，都突出了基础性，考查通用数学方法，这反映出命题者希望广大师生回归基础知识的良好意图.通过解题研究可发现：无论是文科还是理科的很多题目都似曾相识、入手容易，只要概念清楚，基础知识结构牢固、基本功扎实，就能顺利解决.这也体现了命题者重视基础与基本技能，重视数学问题的通性通法的掌握与应用，可以说在立足基础的同时，又突出了能力立意.这对引导中学数学教学回归基础、突出通性通法教学无疑是一个很好的“导航仪”.

（三）常规中彰显能力，平实间甄别素养

今年高考数学全国Ⅲ卷高考题考查通用数学方法，并凸显创新性，试题坚持能力立意的命题原则，渗透数学文化，体现了对“核心素养”的考查，体现了数学的科学价值和理性价值，有利于高校选拔优秀人才，有利于引导中学教学.试题虽常规、朴实，但却淡化形式、注重本质，有效回避了模式化的“题型、套路”，能彰显不同考生的能力，很好地甄别出考生的数学素养，因此这些优秀题目区分度明显，既保证基础，又突出选拔优秀人才的功能，这与新课标的要求十分吻合.下面结合题目进行具体分析：

1.三角、数列题“旧瓶装新酒”，酒香迷人易醉

理科17题解三角形和文科17题数列题，还是那个熟悉的味道，不过学生真正做下来的时候，就会觉得不是那么的简单，具有的一定创新性.如理科17题解三角形就与平面几何证明相结合，考查了直角三角形正切值的运算.在文科17题数列题中，虽然说本质上是知“Sn”求“an”的题型，但是并没有出现我们常见的知“Sn”的表达形式，而是这样一个形式：“a1+3a2+…+（2n-1）an=2n”求an，给基础不够扎实的同学一种没有见过的感觉，而无法动笔，对“an=Sn-Sn-1”这一公式，我们要灵活运用，多角度进行深化教学，像这种“年年岁岁题相似，岁岁年年解不同”的命题手法对遏制“题海战术”有很强的指导意义.也再次向我们的教学敲响了警钟：应避免一味高强度机械应试训练.我们要正确认识数学概念与数学解题的关系，回归数学教学的本质.

2.统计概率加强了社会实际的应用

近年来的高考统计概率题，已逐渐重视对图表的分析与处理的基本技能和数据处理能力的考查.2017年数学高考贯彻高考内容改革的要求，加强应用性，紧密结合社会实际，以考生现实生活的问题为背景设置试题，要求考生应用数学原理和数学工具解决实际问题.试题关注社会发展，引导考生运用所学数学知识解决生活实际问题，富有时代气息.体现了数学在解决实际问题中的巨大作用和应用价值，体现了高考改革中加强应用性、实践性的特点.2017年数学试卷采用小题、大题结合的方式，全面、深入考查应用能力.全国Ⅲ卷第3题（文理同题）为城市游客人数问题，文理第18题为姊妹题，题干是一样的，属于超市销售问题.2017年数学应用题情景丰富，贴近考生，贴近生活，具有浓厚的时代气息，体现了数学与社会的密切联系，对考生的阅读理解能力、推理论证能力，理性思维进行了全方面的考查.今年的统计概率题更加关注基本技能的落实，突出数据处理能力中“让考生经历完整的数据处理过程，包括收集数据，利用图表整理数据，分析数据，并作出判断”.

3.立几平稳中重基础，注重逻辑表达能力

文理第19题也为姊妹题，运用的图形是一样的，而且是一种常规图形，文科第（1）问是证明线线垂直，第（2）问是与体积有关的体积比问题，都是文科中近年来常考题型；理科第（1）问证明面面垂直，第（2）问是求二面角的余弦值；也是理科近年来常考题型.维持了高考题平稳的这一做法，文理科立体几何都注重基础和立几的基本技能，在解题时要注重逻辑清晰表达能力，考查学生的思维能力.

4.解析几何风采依旧迷人，入手容易高分难

今年高考数学全国Ⅲ卷的解析几何大题维持命题的一贯性，都是直线与曲线的交点问题，而解题模式（联立直线与曲线方程→消元得到关于x（或y）的一元二次方程→韦达定理等“设而不求”技巧）突出解析几何的本质——利用代数的方法研究几何问题，重点考查数形结合思想与运算求解能力.今年的解析几何试题在平和、朴实的外表之下，蕴含着丰富的解析几何基本思想，对运算求解能力有较高要求，真正体现了“平凡之中见功底”的命题原则.但是要把过程完整地写出来还是有一定的难度，可以说是入手容易高分难.究其原因：主要是由于理性思维、逻辑推理能力不强，数学严谨性不够，以及运算能力薄弱等所致.例如：在理科的第（1）问中就涉及了一个分类讨论思想，有相当多的同学就忘记了线段AB⊥x轴的情况，直接把直线方程与抛物线方程联立解题（这只是其中的一种情况）.这样的试题更能甄别考生的逻辑推理能力、运算能力和数学素养，体现了命题者的高超水平.

5.压轴题似曾相逢不相识，想说爱你不容易

文理科第21题都是强调理性思维，把考查逻辑推理能力作为命题的首要任务，对考生逻辑推理能力的考查更加真实、有效.如文科和理科第21题都是以函数和导数等数学知识作为载体，要求对参数进行分类讨论确定函数的单调性.在朴实中透着灵气，呈现出一道“靓丽”的风景线，初看“似曾相逢”，有利于考生信心的提升，思维的展开，但深入细做竟然“不相识、想说爱你不容易”，将数学思想方法和素养作为考查的重点，抓住了考生的“软肋”（含参变量），直击其“要害”.很多考生求第（1）问时就感到“一片迷茫”，分类讨论的思想不够明确，逻辑性不强，分类有所遗漏，而在处理第（2）问中，思维灵活性不够，缺乏解题思路.这样的试题区分度明显，层层深入，为考生解答提供广阔的思考空间，突出选拔优秀人才的功能，不愧是一道让考生在平平淡淡中考能力、稳扎稳打中见真功的优秀考题，这十分符合新课标的命题理念.

6.坐标系与参数方程、不等式选讲稳得踏实，稳中有进

坐标系与参数方程、不等式选讲可以说是稳得踏实，稳中有进，这一选考内容文理科同题，跟往年高考题保持一致性，是学生熟悉的题型，常见的形式，坐标系与参数方程第（1）问是求普通方程，第（2）问是求长度（极径）.不等式选讲第（1）问是解绝对值不等式，第（2）问是利用不等式求参数.这些题型都是我们平常教学和训练的常规题型，有助于学生的发挥，有助于学生拿分，对全卷的平均分提升有帮助.

（四）文理同题增多，同化得到加强

依据新一轮的课程改革思想，未来高考数学试卷不再进行文理分科，在2017年上海和浙江进行的综合改革试点中，首次命制不分文理的数学试卷，关注学生的数学基础及必备的能力要求，科学设计命题内容，增强基础性、综合性，着重考查学生独立思考和运用所学知识分析、解决问题的能力.在整体难度上，较好地贯彻了文科起点、理科终点的命题策略.起点低，坡度缓，中档题数量较多，有利于提高试卷的区分度，突出考试的选拔性.今年高考数学全国Ⅲ卷高考题也体现这一改革思想，文理同题增多，同化得到加强，理科第3题和文科第3题是一样的为城市游客人数统计问题；理科第7题和文科第8题是一样的程序框图题；理科第8题和文科第9题是一样的立体几何题；理科第10题和文科第11题是一样的求椭圆离心率问题；理科第11题和文科第12题是一样的函数零点问题；理科第15题和文科第16题是一样的分段函数解不等式的问题；还有选做的两题目是一样的.另一个就是姊妹题也很多，理科第1题和文科第1题都是求A∩B中元素的个数；线性规划的目标函数形式是一样，理科第13题为求z=3x-4y的最小值，文科第5题为求z=x-y的取值范围；文理第18题为姊妹题，大家的题干是一样的，属于超市销售问题；文理第19题也为姊妹题，运用的图形是一样的.文理科完全相同的题目共有8道，姊妹题有4道，总体来讲，完全符合新一轮的课程改革思想，未来高考数学试卷不再进行文理分科，所以就有文理同题增多，同化得到加强.

（五）引领教学回归数学本质

2017年高考数学全国Ⅲ卷体现了考试内容的基础性、综合性、应用性和创新性，试题坚持能力立意的命题原则，削枝强干，加强主体内容，强调理性思维，体现了对“核心素养”的考查，体现了数学的科学价值和理性价值，有利于高校选拔优秀人才，有利于引导中学数学教学.今年的文理卷在选择题、填空题中以考查基础知识和基本技能为主，让考生只要具备了相关的知识和技能就能顺利作答，试题排列也是由易到难，符合考生的认知规律，让考生能逐步提升思维水平，也让各层次思维水平的考生都能拾级而上，发挥出自己的最佳水平，有效地考查了考生思维的差异性.淡化特殊技巧，加强针对性，有效地检测考生对数学知识中所蕴含的数学思想方法的掌握程度.这就提出了我们只要教学中坚持课标，基于标准教学，重视核心素养，回归数学本质，学生就一定能考好.

二、透过历史看未来——对今后教学启示

1.拨开迷雾，清本正源

通过对今年高考题的特点分析可知：很多题目都是注重基础知识、基本技能的考查.因此，我们要正确认识数学概念与数学解题的关系，回归数学教学的本质.要知道数学概念服务于数学解题，数学解题加深数学概念的理解与运用，数学概念是反映数学对象的本质属性的思维形式，是数学知识体系（定理、法则等）的基石，是数学思想方法的载体，也是数学研究的起点，判断、推理、计算、证明和解决问题的依据.所以在高一、高二的数学教学要注重数学知识的本质，不能“轻概念、重训练”，蜻蜓点水式的概念教学，让学生似懂非懂，盲目加大数学机械训练，到了高三又接着进行“高强度机械应试训练”，这种舍本逐末的做法导致很多考生在今年高考“栽大跟头”.如文科17题数列题中许多学生就无法理解到题目本质上是知“Sn”求“an”的题型而不会做.因此我们在高一、高二的教学中应引导学生对课本中的概念、定义、定理、法则、公式等知识要让学生知其然，还要其所以然，在数学概念教学中要创设情境让学生在已知和未知之间架设桥梁，让学生参与概念的形成、发展、巩固、应用和拓展的过程，并且学会对自己的数学思维进行反思.而数学概念内涵与外延的理解需要通过解题来完成，我们进行适当训练，让学生解题之后留给学生的应是概念而不是题.减少机械的程式化训练，在能力培养的过程中感悟数学，突出数学本质，走出重解题技巧、轻概念生成，追求习题讲解的最大化和概念学习的最小化这一数学教学的误区.

2.身正为范，提升运算能力

我们学生答题书写要规范，思维要严谨，就是在教学过程中要重视提升学生答题的策略水平，让学生形成良好的思维习惯.对于这一教学要求就是身正为范，老师在课堂教学过程中板书明析，规范，还要美观大方.从高一、高二开始就要落实好学生的表达，从学生的作业、学生的考试都要严格要求.在试卷分析中发现：简单的数字运算、方程或方程组求解、代数式的恒等变形等计算过程中出错是普遍存在的现象，这反映出考生运算能力薄弱，因此，在今后的教学中，我们要提高学生的运算能力，可从以下几个方面着手：（1）加强基本的训练，让学生理解记忆基本的公式，在这个过程中必须让学生亲身去体验、去思考，切不可包办代替，这样才能提高运算的准确率；（2）明“算理”，提高学生的运算能力，重要的是提高其推理能力，要让学生了解“怎样运算”，而且还要明确“为什么要这样运算”，实现提高运算的合理性和简捷性；（3）多方面、多渠道学会“检验”.通过上面三个方面的有效训练，可以很好地提高学生的运算能力.

3.时刻渗透数学思想，提高数学素养

在2017年高考数学全国Ⅲ卷中加强了数学思想的考查，如函数与方程、数形结合、分类与整合、等价转化等思想都在试卷中得到了体现；试题从学科整体意义和思想价值的高度立意，淡化特殊技巧，有效地检测考生对数学知识中所蕴含的数学思想方法的掌握程度.因此，建议中学数学今后教学要高度重视逻辑推理能力、阅读理解能力和综合分析能力的培养，培养学生的理性思维，强化数学的应用意识.数学思想是数学的灵魂，而数学思想蕴含在数学知识的产生、发展及运用的全过程中，它的形成则需要在平时教学中主动地、有意识地渗透，在解题教学中挖掘，这样才会真正理解数学的思维和思想方法，才可以对它们的使用达到融会贯通，才能提高学生的数学素养.如我们讲评全国Ⅲ卷理科第8题时，就要向学生提出和点明该题既考查了圆柱和球的相关概念，又考查了考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力，更体现了数形结合解题的数学思想.高中教学中都注重基础知识的掌握和基本技能训练，注重培养学生分析问题和解决问题的能力，教会学生如何思考数学问题，讲清楚问题或者解题方法的来龙去脉及其规律，交给学生一把金钥匙——数学的思想，这样才可以真正地提高学生的数学能力和数学素养.

1.刘秀湘.2017年广东高考数学试题改卷情况反馈（评卷总结报告会议）.

2.张展彬.突出主干重基础 常规题中蕴深功——2012年高考数学广东卷理科试题评析 ［J］.中学数学（上），2012（8）.

3.林生.平稳中重基础 朴素中透灵气 常规中见真功——2012年高考数学广东卷试题评价与建议［J］.中国数学教育，2012（10）.

*本文为广东省教育科学规划课题——构建高中数学“优效教学”的行动研究（课题批准号：2016YQJK205）的研究成果.