计算二次特征值问题特征对导数的Nelson方法

刘建萍

摘 要：本文主要研究计算对称二次特征值问题单特征对偏导数的直接法。该方法通过求解线性方程组得到特征对偏导数，仅需利用待求偏导数的特征对，而且可以得到特征对偏导数的精确解。我们将利用数值试验说明该方法的有效性。

关键词：二次特征值问题；特征值偏导数；特征向量偏导数；直接法

1 引言

特征对偏导数在结构稳定性分析、系统参数识别、有限元模型修正、结构优化设计等领域中具有应用等。本文主要考虑以下二次特征值问题特征对导数的计算：

（1-1）

其中 是在 的某个邻域内解析的对称矩阵值函数。

计算二次特征值问题特征对偏导数的方法主要有两类：状态空间法和n维空间法。状态空间法把二次特征值问题转化为广义特征值问题，即状态空间表示形式，然后在状态空间中计算特征对的偏导数，此方法计算量较大。n维空间法利用二次特征值问题的特征对计算特征对的偏导数，计算量较小，在工程实际问题中很受欢迎。

Taylor与Kane[1]和Adhikari与Friswell[2]研究了在n维空间中计算非对称二次特征值问题相应于单特征值的特征对一阶、二阶导数的模态方法，但他们提出的方法都要求二次特征值问题具有互异的特征值。Adhikari[3]通过把特征向量导数表示为无阻尼系统特征向量的线性组合，提出了一种近似计算对称二次特征值问题相应于单特征值的特征向量导数的方法。以上方法需要用到二次特征值问题的多个特征对，计算量较大。

[4]将求解标准特征值问题的Nelson方法[5]推广到二次特征值问题，提出了一种有效地在n维空间中计算二次特征值问题特征对导数的直接法。该方法通过求解线性方程组得到特征对导数的精确解，仅需待求导数的特征对。本文将介绍该方法，给出其算法原理与实现思想，并利用Matlab编程，对该方法进行了数值实验。

本文第二节介绍计算标准特征值问题特征对偏导数导数的Nelson方法。第三节给出计算二次特征值问题（1）的特征对导数的Nelson方法。

2 计算标准特征值问题特征向量导数的Nelson法

本节考虑以下的标准特征值问题：

（2-1）

其中 是解析的矩阵值函数。

假设 是 上的一个单特征值， 是相应于它的特征向量。则由[6]可知，存在 的一个邻域以及该邻域内的一个解析函数 和解析向量值函数 ，使得 是 的特征值， 是相应的特征向量，并且 ， 。

Nelson提出了一种有效地计算特征对导数 的直接法。下面介绍该方法。为了讨论方便起见，这里我们把 省略掉。

我们对（2-1）两边求导，可得：

（2-2）

设 是相应于 的左特征向量，我们在（2-2）的两边同时乘上 ，这样就得到：

（2-3）

注意到（2-2）的系数矩阵的秩是 。为此，Nelson[5]先给式（2-1）

增加一个“约束”，即使得特解中的第 个分量等于零，其中：

为了能够求出通解表达式的系数，我们对特征向量加上一个规范化条件

从而可以得到特征向量导数。

下面给出计算标准特征值问题特征对导数的Nelson法的具体步骤：

利用（2-3）求出特征值导数；

寻找 中绝对值最大的元素，且令此元素所在的行为第 行；

令 中第 行和第 列元素为零，对角元素Skk置为1外，这样便获得非奇异阵 ；

令 中相应的第 行元素为零，从而得到 ，其中 ；

求解方程组 便得特解 ；

计算出常数 ；

计算 cxi

3 计算二次特征值问题特征对导数的Nelson方法

设 是（1-1）在 上的一个单特征值， 是相应的特征向量。则由[6]可知，存在 的一个邻域以及该邻域内的一个解析函数 和它的解析向量值函数 ，使得

（3-1）

[4]将Nelson方法推广到二次特征值问题，提出了一种有效地在n维空间中计算二次特征值问题特征对导数 的直接法。本节介绍该方法。

对方程（3-1）两边微分可得到：

（3-2）

上式为n维空间中二次特征值问题特征对导数的支配方程组。

在（3-2）两边左乘 ，注意到左边为0，则得到特征值导数为：

（3-3）

显然，特征向量导数满足：

（3-4）

其中：

（3-5）

由于（3-4）的系数矩阵奇异，特征向量导数无法直接求得。对于单特征

值，系数矩阵零空间的维数是1。因此，特征向量导数能够写成

（3-6）

其中 和 待定。记 ，类似于求解标准特征值问题特征对导数的Nelson方法，我们通过求解如下方程组得到 ：

（3-7）

常数 由特征向量的正规化条件得到。设特征向量满足规范化条件：

（3-8）

微分上式并代入（3-6）中重新整理得：

（3-9）

下面给出计算二次特征值问题特征对导数的Nelson法的具体步骤。

算法1：

利用（3-3）求出特征值导数；

寻找特征向量中绝对值最大的元素，且令此元素所在的行为第k行；

令 中第k行和第k列元素为零，对角元素Skk置为1外，这样便获得非奇异阵 ；

由（3-5）计算 ，令 中第 行元素为零，从而得到 ；

求解方程组 便得特解 ；

利用（3-9）计算出常数c；

由（3-6）计算特征向量导数。

算法1只需要待求导数的特征对信息，能给出特征对导数的准确解，保证了算法的數值稳定性，保持了结构矩阵的带状性，因此计算效率高。

4 数值试验

本节我们给出数值例子，对算法1进行数值试验。

例1：设 ， ， ， 且

取 。此时二次特征值问题模最大的特征对为：

，

由算法1可得到：

，

例2：该算例来源于一工程结构。设 ， ，

，

取L=0.8， ， ， c5为参数。

当c5为4时，模最大的特征对为：

，

用算法1得到：

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