“嫌贫爱富”找思路

郑新民++谢七生++魏均林++平功传

“贫居闹市无人问，富在深山有远亲”，《增广贤文》里的这句至理名言，也是数学解题的高妙之举，与“富翁”沾亲带故、建立联系，以富带穷，实现“共同富裕”，是解题的制胜策略之一。

例1：如图，在△ABC中，高BE、CD交于H，D、E为垂足，若∠ACB=45°，AC=7，AE=3，试求BH的长。

分析：由AC=7，AE=3，知EC=4。

又∠ACB=45°，BE⊥AC，知BE=EC=4。

在Rt△ABE中，AE=3，BE=4，所以AB=5。

可見，△ABE为“富翁”，因此，应从寻找与△ABE相似的三角形入手，探索解题途径。

显然，△ABE∽△ACD，△ABE∽△HBD。从而有

例2：如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=6cm，若点P从点A沿AB向B以1cm/s的速度运动，点 Q从点B沿BC方向以2cm/s的速度运动，若P、Q两点分别从A、B同时出发，问线段PQ与BD能否垂直？若能，求出此时AP的长度，若不能，说明理由。

分析：设经过x秒，PQ⊥BD，则AP= x，BQ=2x，从而PB=4-x，∵CD=AB=4cm，BC=6cm，从而BD=2。

∴△BCD为“富翁”，找与“富翁” △BCD相似的三角形，有△BCD∽△BMQ∽△PMB∽△PBQ。

即有三个三角形与△BCD相似，取谁与之搭配最佳呢？由于△PBQ的三边皆可用x表示如下：

BQ = 2x，PB = 4-x， PQ=，

可见△PBQ为“富翁”，强强联合，当然应利用△BCD∽△PBQ求解。

△BCD∽△PBQ 。

可见，线段PQ与BD能互相垂直，此时线段AP的长度为1cm。

例3：已知a，b是负整数，方程 x2+ax+b=0与x2-4x+3=0有一公共根，求a，b。

分析：方程x2+ax+b=0含待求系数a、b，而方程x2-4x+3=0系数全知（可谓“富翁”），因此，应从可求根的方程 出发，求a，b的值。

解：方程 x2-4x+3=0的根为x1 =1，x2 =3，若x=1为两方程的公共根，则1+a+b=0。

∵a，b是负整数，

∴1+a+b≠0，故x=1不可能为两方程的公共根。

若x=3为两方程的公共根，则 9+3a+b=0，b=-（9+3a）

∵a，b是负整数，

∴a=-1或a=-2。

当a=-1时，b=-6；当a=-2时，b=-3。

例4：k取什么实数时，方程x2-（k+2）x+12=0和方程2x2-（3k+1）x+30=0有一公共根。

分析：观察两方程系数，皆未达到“温饱”状态，倘若合二为一，朝凑成“富翁”的方向变化，则可找到本题的求解方法。

解：x2-（k+2）x+12=0 （1）

2x2-（3k+1）x+30=0 （2）

（1）×3-（2） 得 x2-5x+6=0（“富翁”）， x=2或x=3。

当x=2时，代入（1）得k=6。

当x=3时，代入（1）得k=5。

∴k=6或k=5时，两方程有一公共根。

从以上各例可见：“嫌贫爱富”找思路，自然流畅，直达目标。作为一种解题之法，应认真体会，用心应用。endprint