收获放手后的精彩<br/>——《探究多边形内角和》教学实录、评析及反思

收获放手后的精彩
——《探究多边形内角和》教学实录、评析及反思

2017-10-16安徽省宣城市教育体育局教研室邮编242000

中学数学教学 2017年5期

安徽省宣城市教育体育局教研室李群 (邮编:242000)

收获放手后的精彩
——《探究多边形内角和》教学实录、评析及反思

安徽省宣城市教育体育局教研室李群 (邮编:242000)

在一次赴某县开展的初中数学示范课巡回教学展示活动中,授课教师准备了一堂课(沪科版八年级下册第19章第一节《多边形的内角和》)．由于学生刚进入八年级,在知识储备上还很欠缺,学生无论是逻辑思维还是几何语言的表达上,都存在着相当大的困难．授课教师原先准备的教学内容和方法已不能适合当前的学情需要．面对这种情况,我们在课前准备中,对教学内容进行重新调整,对教学方法进行重新设计,力求在这堂课上让整个探究学习的过程充满师生之间,生生之间的交流和互动,充分体现教师是教学活动的组织者、引导者、合作者,学生才是学习的主体．本节课实践表明,虽然知识的跨度很大,学生的知识储备不够,偶尔思维受阻,但教学效果却很好,受到观课教师的一致好评,其中让我感受最深的就是教师敢于放手,把课堂交给学生,学生收获的比预期想象的多．现将这节课的教学过程和反思整理如下,与同行交流．

1 再现课堂

1．1 创设情境

师:(大屏幕展示学生家乡的建筑)这些身边的古建筑图形都是由最基本的几何图形组成,我们一起怀揣着保护家乡古建筑的使命感来学习多边形的知识．

学生观看,欣赏家乡古建筑美景．

教师从学生熟知的图片中抽象出三角形、四边形、五边形等多边形,并提出问题．

师:先来看看多边形的内角和．(板书课题)让我们一起走进它的世界,去感受它的魅力．

评析通过学生熟知的古建筑,引出话题,激发学生的兴趣,及时进行情感教育,让学生感知生活中处处有数学,从而激发他们的求知欲．

1．2 探索新知

师:你知道黑板上这个五边形内角和是多少度吗?

学生面面相觑,相互讨论．

师:那我们今天就从最简单的多边形入手．你知道三角形内角和多少度吗?

生:(异口同声)180°．

师:你能回想起怎么得出的?

生1:采用量角器度量:分别测量出三角形三个内角的度数,再求和．

生2:采取拼角的方法:将三角形两个内角裁剪下来与第三个角拼在一起,可组成一个平角．

师:回答的很好．你们能猜测四边形的内角和是多少度吗?你们又是怎么得出的?

许多学生通过度量、拼角两种方法,猜想得出四边形的内角和是360°．

师:有没有不同方法求四边形的内角和?

生3:有．只需要连结四边形一条对角线AC,将四边形分割成两个三角形,再根据三角形内角和定理得出四边形的内角和为360°．

师:非常棒!

评析五边形的内角和是多少度?当发现此问题与学生的已有认知发生冲突时,让学生从熟悉的三角形内角和入手,去探究四边形内角和．从认知角度看,这种“类比”的教学方法容易将旧知识迁移到新知识上来,从而达到温故知新的效果,也符合学生认知规律．及时引导学生将四边形分割成三角形使学生的思维层层展开,逐渐深入,培养学生的发散思维能力和自主探索精神．

师:在四边形内角和的探索过程中,用到了几种方法?

生4:三种方法:(1)度量;(2)拼角;(3)将四边形转化成三角形求内角和．

师:你认为哪种方法好?请讲述你的理由．

生5:我认为第三种方法较好．因为,度量法:不精确;拼角法:操作不方便;当多边形边数增加时,度量法、拼角法都较繁琐．而第三种方法:精确且有理论根据．

师:同学们与他的观点一致吗?

生:是(肯定)．

师:大家不要吝啬自己的掌声,把掌声送给他．

师:显然,当边数增加时,仍然通过度量、拼角求内角和的方法不可取,而将四边形转化成三角形求内角和是最佳选择．

评析在四边形内角和的探究中,经过三种方法的比较,通过添加辅助线,把未知的四边形的内角和转化为已知的三角形的内角和求解,为多边形内角和的探索奠定基础,同时向学生渗透了“转化”这种数学思想方法．

师:除此之外,你是否还有其它的将四边形分割成三角形的方法吗?

生6:连结四边形对角线BD．

生7:(反驳)这与前面的方法一致．

此时课堂一片沉寂,学生思维受阻．

师:连结四边形对角线AC或BD,可以看成从四边形的一个顶点出发作的一条辅助线,(停顿)(师追问)辅助线一定要从顶点作吗?(生思考)

生8:(恍然大悟)老师,在四边形边上任意取一点,再与四边形另外两个顶点连接,可以把四边形分割成三个三角形．

学生思维茅塞顿开,课堂气氛顿时活跃起来,纷纷踊跃发言．

生9:可以在四边形内任意取一点,分别与四边形四个顶点连接,可以把四边形分割成四个三角形．

师:很好!还有没有其它分割方法?

生10:还有一种,就是在四边形外任意取一点,再分别与四边形四个顶点连接,不过,这个图形有点复杂．(学生笑声)

师:(表扬)还有同学有不同意见的吗?

生:摇头．

师:现在老师用几何画板画出不同方法将四边形分割成三角形的图形,这里体现了数学的分类法,它是数学思考的一种基本方法,对于提高解题能力,发展思维的缜密性,具有十分重要作用．

评析在此向学生渗透了分类的数学方法,让学生明白为什么要进行分类研究,又给学生明确了探究的方向．在此教学中,学生敞开思想,积极参与教学活动,教师最大限度地调动学生的积极性,激发他们的学习兴趣,引导他们多角度、多方位、多层次地思考问题,使他们有足够的机会显示灵性,展现个性．

师:按大屏幕上四种不同分割方法,你是如何求解四边形内角和呢?请各组同学分工协作,动手实践,相互讨论、交流,寻找解答方法,并形成小组结论．

教师此时参入活动,巡视、观察各组问题解决情况．

师:完成好的请举手示意．很好,各小组都已完成．那我们就请各小组代表上展示台展示你们的结论．

评析在这里给学生充足的时间,让学生的能力得到充分的发挥,然后通过讨论得出结论,激发学生的求知欲望,调动学生学习的积极性．通过师生合作,让学生学会运用分类讨论的数学方法、转化的数学思想来研究问题,从而培养学生严谨的治学态度和创造性的解决问题的能力．

教师通过归纳总结了四种方法:

方法1如图1,连结BD,四边形的内角和为:2×180°＝360°．

方法2如图2,在BC上任取一点E,连结EA、ED,则四边形的内角和为:3×180°－180°＝360°．

方法3如图3,在四边形内任取一点E,连结EA、EB、EC、ED,则四边形内角和为:4×180°－360°＝360°．

方法4如图4,在四边形外任取一点E,连结EA、EB、EC、ED,则四边形内角和为:3×180°－180°＝360°．

师:通过四种方法的求证,四边形的内角和为360°,那么,你们能够归纳出四种方法的共同点吗?

生11:四种方法的共同点是通过图形分割,把四边形问题转化为熟悉的三角形问题来解决．

师:归纳地非常准确．(追问)你们认为哪种方法好?并说明你的理由．

生12:我认为方法1好,因为将四边形分割成三角形,只需要作一条辅助线,而其他方法都是作两条或两条以上的辅助线．

师:还有需要补充的吗?

生:摇头

师:同学观察的很仔细,归纳总结的很全面,口头表达能力也很棒．

师:(小结)探究四边形、五边形、……、n边形内角和,从多边形的一个顶点出发引对角线是最简单的方法．

评析有比较,才有选择．通过不同方法的展示,不同方法的优劣比较,为五边形、六边形、……、n边形内角和内角和的探索提供最简捷的方法．

1．3 形成结论

师:请利用刚才最简单的方法解决五边形、六边形的内角和．归纳n边形内角和,填写大屏幕上表格．

学生观看屏幕、思考后回答．教师操作、师生共同合作,完成表格的填写．

多边形(边数) 图形从一个顶点作出的对角线条数分割成的三角形个数内角和四边形(n＝4)五边形(n＝5)六边形(n＝6)…… …… …… …… ……n边形

师:从表格中你们发现了什么规律?

生:齐声回答

教师加以完善,并归纳总结得出结论:

从n边形的一个顶点可以引出(n－3)条对角线,把n边形分成(n－2)个三角形。从而得出定理:n边形的内角和是(n－2)×180°,(n为不小于3的整数)．

评析在数学教学中,教师善于引导学生观察、归纳、总结是培养学生数学能力的一项重要内容,这不仅使学生把本节课所学的知识形成一个完整的知识体系,更有利于学生良好数学学习习惯的形成．

1．4 巩固新知

师:老师现在要来考考同学们对这个定理的掌握情况,请看大屏幕．

(1)十二边形的内角和是多少度?(抢答)

(2)一个多边形的内角和等于720°,那么这个多边形是几边形?

(3)多边形的内角和随着边数的增加而怎样?边数增加一条时它的内角和增加多少度?

学生踊跃发言,参与程度高,课堂气氛活跃．

评析通过以上几个问题的层层深入,考查学生对定理的理解和应用,并将本节课的知识和所学过的内容紧密结合起来,使学生能够很好地进行知识的迁移,加深对本节知识的理解．既巩固了新知,又训练了学生思维的灵活性与开阔性,同时在交流的过程中,体验到了成功的快乐,增强了学生的自信心．

1．5 课堂小结

师:通过本节课的学习,你们从知识、方法、思想……等方面谈谈你在本节课中的收获和体会．

学生思考,并归纳本节内容,教师总评．

评析通过这种小结,鼓励学生畅所欲言,让学生归纳、总结本节知识、思想和方法,总结对本节课的收获和体会,锻炼学生的口头表达能力,关注了不同层次的学生对所学内容的理解和掌握,有利于培养学生数学能力．同时教师把学生零散的归纳形成体系,构建成学生自己的知识,融入学生已有的知识体系．

1．6 布置作业

课本74页练习:6、7题．

评析课后作业是对课堂所学知识的检验,能及时发现问题,反馈教学效果,让学生所学知识得到巩固、提高和发展．

2 反思

2．1 学生自主探究,知识领会更深刻

《新课程标准》中提出:“教师要引导学生独立思考,主动探索、合作交流”．体现了“重视学习过程”．为了更好地让学生参与到课堂中来,充分地发挥学生学习主体的作用,在多边形内角和这一知识点的教授上,教师采取了小组合作方式,运用探究法来解决问题．首先通过情感教育,激发学生的兴趣,从学生熟知的图片中抽象三角形、四边形、五边形等多边形．并及时提出问题:五边形的内角和是多少度?当发现此问题与学生的已有认知发生冲突时,在引导学生回顾三角形内角和是180°的基础上,及时引导学生去尝试思考四边形的内角和是多少．为了便于集思广益,充分发挥集体合作的力量,教师将全班分成六个小组。小组之间展开竞争,看谁提出的解决方案最好,并要求予以简单的说明(因为学生目前还未接触证明)．此时此刻,学生的激情一下子被调动起来了．学生自主寻找方法,提出了很多解决问题的方法,如量角器测量法、拼剪法、作辅助线分割法(课前总认为,在教师不指导的情况下,不会有学生想到分割这种方法)……．在学生提出将四边形分为几个三角形求四边形的内角和后,教师又不失时机的引导学生从四边形形内、形上、形外上更深层的思考,并从多个思考中发现最简单的方法．学生自己动手利用最简单方法去研究五边形、六边形乃至n边形的内角和．整个过程作为教师只是充当了一个组织者、协调者、引导者的作用,其他都由学生独立完成:独立发现问题、独立解决问题,课前我们担心这样大胆放手是不是完成不了教学任务,整个课堂是不是一盘散沙?但事实证明,这种探究才是真正的让学生去尝试,真正做到了以学生为主体,学生在自己的探究活动中对知识有了更深层的理解,远比教师单纯地讲授要好得多．

2．2 注重感悟实践,思维、能力提升更高

《新课程标准》指出:“学生要学会独立思考,体会数学的基本思想和思维方式”．让学生在数学课堂上体会数学思想,积累数学活动的经验是新课程改革一个重大突破．数学教学也从单纯的教数学知识向立体化发展,对全面提升学生的数学素养起到了不可替代的作用．在这节课上教师主要引导学生体会“类比”、“转化”思想．在求证四边形内角和时,巧妙地引导学生将四边形的问题向自己熟知的三角形问题转化．并以此拓展,让学生把五边形、六边形内角和问题都转化为三角形内角和来解决．在探究内角和公式时充分地引导学生在众多图形当中寻找规律然后予以归纳得出结论．在整个教学活动中教师一直坚持让学生自己动手,自己画辅助线。大胆猜测、小心求证．自己计算,自己说明过程．学生全程参与数学活动,积累了数学活动的经验．可以说,在这节课上,学生不仅汲取了知识,更重要的是领悟了数学思想,积累了活动经验,锻炼了动手能力,是一场知识、思维与能力共同发展的饕餮盛宴．

2．3 着力一课多元,情感态度收获更丰富

《新课程标准》还提出:“学生的智力发展会有差异,情感态度的发展也会有差异．数学教学不但应该关注全体同学智力发展,也应该关注全体学生情感态度发展”．情感态度目标是新课程三维目标中最形而上的东西．也是培养学生数学素养的关键．在这节课上教师坚持把情感目标融入课堂活动中．学生通过分组合作,学会了交流合作的价值;在探究、解决多边形内角和问题中,学会了猜想、推理、证明等数学思路;在与同学的辩论中学会了质疑、坚持真理、严谨的科学态度;在经过自己努力探索得出正确结果时,获得了体验成功的快乐,锻炼了克服困难的意志,建立了自信心．可以说,这节课我们的学生在情感态度上的收获同样巨大．