基于小数时延滤波器的时域宽带波束形成实现研究

张博彦 彭元坤

（第七一五研究所，杭州，310023）

基于小数时延滤波器的时域宽带波束形成实现研究

张博彦 彭元坤

（第七一五研究所，杭州，310023）

首先采用最小二乘法设计小数时延FIR滤波器，以此为原型设计可变小数时延滤波器用来精确控制阵元间的相对时延，然后以Farrow结构实现可变时延控制，用以控制波束指向。仿真验证了该方法的有效性。因无需存储大量波束加权系数，节省了存储空间，还可方便移植于FPGA或DSP处理器，易于工程实现。

时域宽带波束形成；可变小数时延滤波器；FIR滤波器；Farrow结构

波束形成技术作为阵列信号处理的重要组成部分，在声呐、雷达、无线通信等领域具有广泛应用[1-3]。传统窄带波束形成采用相移获得相干阵列增益，这使得信号的不同频率分量有不同的阵列响应。若信号入射方向偏离波束指向，不同的频率分量将获得不同的增益，造成输出波形畸变，且信号带宽越大，波形畸变越严重，故需研究宽带波束形成技术，以使波束响应在信号频带范围内保持恒定[1]。

宽带波束形成主要有频域处理方法与时域处理方法。频域方法以离散傅里叶变换为基础将信号化为子带处理，该方法等效在频域加窗，导致各块数据组合为时域信号时出现相位不连续[4]。时域方法通常采用抽头延迟线或 FIR /IIR滤波器对宽带信号进行时延加权处理，其中FIR滤波器组的实现方式，本质是利用具有线性相位特性滤波器的群时延去补偿空间信号到达不同阵元的相对时延。时域方法采用逐点处理，可以解决输出波形相位不连续的问题，然而精确的时延控制是制约时域方法的瓶颈。

阵元间的相对时延通常包含小数倍的采样间隔，可采用小数时延滤波器精确控制时延[5]。目前已有多种数字设计方法来逼近理想的小数时延滤波器特性以实现输入信号所需要的时延，主要包括FIR滤波器和全通IIR滤波器两大类，而FIR结构因其优异的数值稳定性被广泛应用。此外，为适应时延参数的可变性，要求设计可变小数时延FIR滤波器[6]。本文以均匀线阵为例，研究基于小数时延FIR数字滤波器的时域宽带波束形成实现方式。

1 基于小数时延的宽带波束形成原理

对于一M元均匀线阵，阵元间距为d，假设远场平面波以θ方向入射，则阵元m接收的信号为

其中s(t)为信号包络，t为时间，fc为信号载频，c为声速，相邻阵元信号延时。信号经基带变换为

由（2）式可知，为在期望方向上形成正确的波束指向，可对m阵元信号进行相移补偿，再对包络时延mτ即可使各阵元信号的相位对齐，叠加后从而获得相干增益。

且满足p∈[0,10)。经以上分析得到时域宽带波束形成的实现结构，如图1所示。若采用高倍采样阵列信号可获得精确的小数时延，但后续处理数据将急剧增加，大大增加系统复杂度。为此可应用FIR结构的小数时延滤波器，在满足基带采样条件下降低系统成本。

图1 时域宽带波束形成的实现结构

2 小数时延滤波器的实现原理

其中D为正实数，包括整数部分P和小数部分p，表示为D=P+p。

对式（5）进行傅里叶变换得

可知式（7）即为理想时延系统的频域响应，其幅度域响应为

同时由式（7）可知，理想的小数时延滤波器群延时为

为获得小数时延FIR滤波器系数，采用最小二乘法以有限长FIR滤波器频响逼近理想小数时延系统的频率响应[5]，逼近误差为

定义误差函数

其中为通带截止频率参数，0＜α≤1，W(ω)为频率加权函数，且

求J关于h的最小值可得

从而得出FIR结构小数时延滤波器系数。

3 可变小数时延滤波器

式（12）得到的小数时延为固定时延，实际要求时延参数随信号入射方向的变化而改变，应考虑可变小数时延滤波器[6]。当时延参数变化时，可变小数时延 FIR 滤波器的响应函数可写成

其中系数αn(p)为小数时延p的函数，p∈[0,1)。

以上一节最小二乘法FIR小数时延滤波器为原型得到滤波器系数，并以M阶多项式逼近αn(p)，

则可变小数时延 FIR滤波器的响应为

由式（15）可以得到Farrow的实现结构，如图2所示。

图2 可变小数时延 FIR 滤波器的Farrow实现结构

由图2可知，Farrow 结构仅使用一个连续可调时延参数p来控制实现可变小数时延滤波，当时延变化时，仅需改变 Farrow 结构中的延时参数，无需重新加载滤波器系数，从而节省了存储空间，降低了系统复杂度。

4 可变小数时延 FIR滤波器的仿真

仿真参数：滤波器阶数为 15，多项式拟合阶数为5，通带截止频率 0.8 π。图3与图4分别为所设计的可变小数时延FIR滤波器的幅度响应和群延迟响应，其中小数群延迟为0～0.9倍采样间隔。由图可知，在通带频率范围内，该滤波器能获得较为平坦的幅度响应，且群延时较为精确。

图3 可变小数时延 FIR滤波器的幅度响应

图4 可变小数时延 FIR滤波器的群延时响应

5 本文方法仿真

仿真参数：等间距均匀线阵，阵元数为 10，接收信号为 LFM，信号载频fc=15 kHz，脉宽Tp=10 ms，信号带宽B=8 kHz，阵元间距d为信号最高频率对应波长的一半，信号入射方向θ=−21°，基带采样率fs=20 kHz，可变小数时延FIR滤波器参数与前文一致。图5为上述参数下基于可变小数时延FIR滤波器的时域宽带波束图，图中同时作出了常规频域宽带波束图。由图可知，两种波束形成器的波束均正确指向了来波方向，但常规频域宽带波束形成以离散傅里叶变换为基础将信号变为子带处理，各子带处理本质上仍是窄带波束形成，使得该方法对于信号低频、中心频率及高频有不同的波束响应；而本文的时域波束形成器对于不同频率有着恒定响应，验证了其阵列波束响应具有与频率无关的特性。同时可以注意到，基于可变小数时延的波束形成器主瓣宽度约等于频域宽带波束形成在中心频率处响应的主瓣宽度，并且可获得更低的峰值旁瓣比。

图5 本文方法与常规频域宽带波束图比较

6 结论

通过仿真验证了应用可变小数时延滤波器实现常规宽带波束形成的可行性。其中可变小数时延滤波器目的为解决各阵元接收的宽带信号包络对齐的问题，进而结合中心频率处的相位补偿达到各阵元接收信号同相叠加实现宽带波束形成。其本质为以特定波束指向得到各阵元的可调小数时延为变量，通过低阶多项式拟合FIR滤波器系数调节其群时延为一小数采样间隔，使各阵元接收信号经小数时延实现包络对齐。与常规频域波束形成器相比，该波束形成器通过调节各阵元的FIR滤波器群延时来精确调整各阵元的相对时延，其阵列响应具有与频率无关的特性。另一方面，宽带波束形成器可视为一宽带内插波束形成器，相比于传统的插值计算，该波束形成器结构灵活，更适合模块化设计。本文仿真条件为远场，但该原理同样适用于近场。此外本文方法为常规宽带波束形成提供了一种实现思路，今后可以结合自适应波束形成的思想通过特定约束进行滤波与波束形成联合优化以满足实际应用需求。

[1]鄢社锋,马晓川．宽带波束形成器的设计与实现[J]．声学学报,2008,33(4):316-326.

[2]YUJIE G,LESHEM A．Robust adaptive beamforming based on interference covariance matrix reconstruction and steering vector estimation[J]．IEEE Transactions on Signal Processing,2012,60(7):3881-3885.

[3]MARTINEZ J,ZARZUELO C,IGLESIAS V,et al.Broadband beamforming and null-steering based on fractional delay in OFDM systems[C]. 20th European Wireless Conference,2014:1-6.

[4]VAN TREES H L.Optimum array processing.part IV of detection,estimation,and modulation theory[M].New York:John Wiley & Sons,2002.

[5]LAAKSO T I,VALIMDKI V,KARJALAINEN M.Splitting the unit delay:tools for fractional delay filter design[J].IEEE Signal Processing Magazine,1996,13:30-60.

[6]FARROW C W.A continuously variable digital delay element[C].IEEE ISCAS’88,1988,3:2641-2645.