基于三叉树模型的美式期权定价及其Matlab算法

董丽沙，王湘玉

(河北科技师范学院 a.数学与信息科技学院，b.工商管理学院，河北 秦皇岛，066004)

基于三叉树模型的美式期权定价及其Matlab算法

董丽沙a，王湘玉b

(河北科技师范学院 a.数学与信息科技学院，b.工商管理学院，河北 秦皇岛，066004)

研究了存在连续红利的美式期权定价的数值解法，通过寻找三叉树模型中各个结点处标的资产价格的通项公式，得到了美式期权数值解的迭代公式及Matlab算法，结合Matlab比较了三叉树模型的稳定性优于二叉树模型，并通过控制变量法，直观地得到了美式期权价值对其各个影响因素的敏感性结果分析：美式看涨期权的价值与无风险利率、标的资产价格及其波动率和期权持有期呈正相关，与敲定价格呈负相关。

美式期权；三叉树；Matlab；控制变量；敏感性

对于期权的定价很早就有人进行了探索，但都因包含一些主观参数而几乎不具有实用价值。1973年，Black F等[1]得到了描述期权价格变化所满足的偏微分方程，即B-S公式，为各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。B-S模型的一个局限性问题就是没有考虑标的股票在合同有效期内发放红利的情况。1976年，Merton将其推广到股票价格可能会存在跳跃点的情形，包含了标的股票连续支付红利的情况，将模型的实用性推进了一大步。

虽然B-S模型对于欧式期权有精确的定价公式，然而目前尚没有得到美式期权定价的解析解，其原因就在于美式期权在到期前的任何时刻都可以被执行。1979年，Cox J C等[2]为B-S模型提供了一个比较简单和直观的方法——二叉树期权定价，通过将连续时间进行等分，从而将标的物价格的连续变化近似看作离散的随机游走过程。该模型已成为建立复杂期权(美式期权和奇异期权)定价模型数值解求解的基本手段。梁义娟等[3]介绍了美式期权定价的几种常见方法，尤其对二叉树方法和蒙特卡罗方法的数值模拟结果进行了比较。刘帅[4]引入波动率模型，建立了二叉树定价方法求解存在红利和交易费用的美式看涨期权的价值，研究了计算方法的稳定性和收敛性。在考虑随机波动率和随机利率的前提下，武斌等[5]建立了欧式期权的三叉树定价模型，并通过风险中性测度理论的假设，得到了更切合现实市场的欧式期权定价公式。

1 模型简述

不同于以往的资产价格表示模型，为了更加直观地构造期权价值矩阵中各个结点与其期权价值的对应关系，本次研究设定初始时刻为t1，即0=t1

图1 多期三叉树标的资产价格示意图

在期权到期时刻T(tn+1)时，美式期权的价值可由下式确定：

美式看涨期权，vn+1, j=max{Sundj-1-K, 0},(j=1,2,…,2n+1)

美式看跌期权，vn+1, j=max{K-Sundj-1, 0},(j=1,2,…,2n+1)

其中K是期权的敲定价格。

类似于二叉树期权定价模型的算法，基于三叉树模型依然采用向后倒推的方法给美式期权定价。由风险中性估计公式，得到在任意结点(i,j)(i=1,2,…,n；j=1,2,…,2i-1)处美式期权价值的迭代公式：

美式看涨期权，vi, j=max{Sui-1dj-1-K, e-rΔt(puvi+1, j+pmvi+1, j+1+pdvi+1, j+2)}

美式看跌期权，vi, j=max{K-Sui-1dj-1, e-rΔt(puvi+1, j+pmvi+1, j+1+pdvi+1, j+2)}

2 模型求解及Matlab算法的实现

何颖俞[7]根据二叉树模型定价理论，利用原点矩和中心距的关系推广得到三叉树下相关参数的计算公式：

基于上述讨论，存在连续红利的美式期权三叉树定价模型的Matlab数值算法(M文件)如下：

function[value]=fun1(S,K,T,r,sig,n) %r为实际利率与连续红利之差

dt=T/n;

M=(exp(r*dt)+exp((3*r+3*sig^2)*dt)-exp((2*r+sig^2)*dt)-1)/(2*(exp((2*r+sig^2)*dt)-exp(r*dt)))

u=M+sqrt(M^2-1)

d=1/u;

p1=((1+d)*exp(r*dt)-exp((2*r+sig^2)*dt)-d)/((d-u)*(u-1))

p2=((u+d)*exp(r*dt)-exp((2*r+sig^2)*dt)-1)/((1-d)*(u-1))

p3=((1+u)*exp(r*dt)-exp((2*r+sig^2)*dt)-u)/((d-u)*(1-d))

%T时刻即t(n)时刻期权价值：

for t=1:1:2*n+1

V(n+1,t)=max(S*u^n*d^(t-1)-K,0); %美式看涨期权

%V(n+1,t)=max(S*u^n*d^(t-1)-K,0); %美式看跌期权

end

%(i,j)结点处期权价值(i=1,2,.n,j=1,2,.2i-1)：

for i=n:-1:1

for j=1:1:2*i-1V(i,j)=max(S*u^(i-1)*d^(j-1)-K,(exp(-r*dt)*(p1*V(i+1,j)+p2*V(i+1,j+1)+p3*V(i+1,j+2)))); %美式看涨期权

%V(i,j)=max(K-S*u^(i-1)*d^(j-1),(exp(-r*dt)*(p1*V(i+1,j)+p2*V(i+1,j+1)+p3*V(i+1,j+2))));%美式看跌期权

end

end

value=V(1,1)

3 实例研究

已知一个1年的美式看涨期权，股票初始价格为100，执行价格为100，无风险利率为每年0.1，股票价格波动率为每年0.4，连续支付红利率为0.05。

(1)研究美式期权定价的二叉树、三叉树中随着参数n的变化期权价值的变化。

通过调用二叉树算法(Matlab算法见附录)和三叉树算法的M文件:

for n=1:1:40

y1(n)=fun1(100,100,1,0.05,0.4,n);%调用美式期权三叉树定价M文件

y2(n)=fun2(100,100,1,0.05,0.4,n);%调用美式期权二叉树定价M文件

axis([0 40 0 25]);

plot(n,y2(n),′*′)

plot(n,y1(n),′r.′)

hold on

end

图2 随着树叉数的增加二叉、三叉树图法计算期权价值

x=1:1:40;

plot(x,y2,′--′,x,y1,′r-′)

分别得到二叉树和三叉树下随着树叉增加时美式看涨期权价值的变化情况(图2)。其中虚线和实线分别表示二叉树和三叉树下随着叉数的增加期权价值的变化过程。可以看出，随着树叉数的逐渐增多，二叉树、三叉树模型所得的数值解都可以趋于稳定，但显然当树叉数N≥10时，三叉树的期权价值已基本趋于稳定，而二叉树的稳定性却没有三叉树良好。

(2)美式期权价值对各个因素的灵敏度分析。

期权的敏感性是指期权价值对其决定因素变动的敏感程度或反应程度[8]。从美式期权的三叉树定价模型中，可以看到影响期权价值的因素有标的资产的价格S，期权的执行价格K，期权到期日T，无风险利率r和波动率σ。针对上述例子，利用Matlab程序，通过控制变量法(对某一因素进行分析时，其他因素不变)，分别分析各因素对美式看涨期权价值的影响。

图3 美式看涨期权对各因素的敏感性分析

由图3(a)可以直观得到美式看涨期权的价值与其标的资产价格呈正相关，这与看涨期权期权价值对标的资产价格的敏感性理论结果一致，即看涨期权的风险指标Delta为正，在其他变量不变的条件下，资产价格越高，看涨期权的价格越高[9]。

图3(b)直观得出，在其他变量不变的条件下，敲定价格越高，看涨期权的价值越低。因为期权的内在价值由敲定价格与标的资产价格决定，而对于看涨期权而言，期权的内在价值等于标的资产价格与敲定价格在初始时刻折现值之差，所以，看涨期权价值与标的物敲定价格呈负相关。

图3(c)，图3(d)可以看出，无风险利率(也是标的资产的期望收益)和标的资产价格波动率分别与看涨期权的价值成正相关，期权的价格依赖于未来的不确定性。

图3(e)说明，在其他变量不变的情况下，看涨期权持有期越长，期权价值越高，这是由于期权的时间价值所决定。

本次研究通过适当修改三叉树模型中各个结点处标的资产价格的通项公式，清晰地得到了基于三叉树模型的美式期权价值的数值求解方法，并给出了相应的Matlab程序。通过实例，验证了三叉树模型的期权定价公式的稳定性更加优于二叉树模型，并通过控制变量法，得到了美式看涨期权价值对各因素敏感性分析变化图，以便于掌握期权的价格变动，有助于衡量和管理风险。本次研究关于美式期权的三叉树定价模型及程序也可为复杂期权三叉树期权定价提供参考。

[1] Black F,Scholes M.The Pricing of Option and Corporate Liabilities[J].Journal of Political Economy,1973,81(3):637-654.

[2] Cox J C,Ross S A,Rubinstein M.Option Pricing:A Simplified Approach[J].Journal of Financial Economy,1979,7(3):229-263.

[3] 梁义娟,徐承龙.美式期权定价的数值方法[J].应用数学与计算数学学报,2013,27(1):101-113.

[4] 刘帅.考虑随机性因素的美式期权二叉树图定价方法[J].统计与决策,2013(15):83-85.

[5] 武斌,王玉文.随机利率与随机波动率下三叉树模型下欧式期权的定价[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2016,32(1):7-10

[6] Boyle P P.Option Valuation Using a Tree-Jump Process[J].International Options Journal,1986,3:7-12.

[7] 何颖俞.美式期权的三叉树定价模型[J].黑龙江大学自然科学报,2008,25(1):81-84.

[8] 宫文秀,高凌云.复合期权的三叉树定价模型[J].统计与决策,2016(18):83-86.

[9] 叶中行,卫淑芝,王安娇.数理金融基础[M].北京:高等教育出版社,2015:201-207.

(责任编辑：朱宝昌)

附录1

二叉树定价美式期权

function[val]=fun2(S,K,T,r,sig,n)

dt=T/n;

u=exp(sig*sqrt(dt));

d=1/u;

p=(exp((r)*dt)-d)/(u-d);

for t=1:1:n

V(n,t)=max(S*u^(n-t)*d^(t-1)-K,0);%美式看涨

%V(n,t)=max(K-S*u^(n-t)*d^(t-1),0);%美式看跌

end

V;

for i=n-1:-1:1

for j=1:1:i

V(i,j)=max(S*u^(i-j)*d^(j-1)-K,(exp(-r*dt)*(p*V(i+1,j)+(1-p)*V(i+1,j+1))));%美式看涨

%V(i,j)=max(K-S*u^(i-j)*d^(j-1),(exp(-r*dt)*(p*V(i+1,j)+(1-p)*V(i+1,j+1))));%美式看跌

end

end

val=V(1,1);

Abstract: In this paper, we studied the numerical solution of American option pricing with continuous bonus. By looking for the general formula of asset price in each node of the Trinomial Tree method, we obtained the iterative formula and Matlab procedure of numerical solution of American option. By comparison, we concluded the stability of the Trinomial Tree was better than that of the Binary Tree model. And the sensitivity of the American option value to each of its influencing factors was analyzed intuitively by means of the control variable method. The value of the American call option was positively correlated with the risk-free interest rate, the underlying asset price, the volatility and the holding period of the option, but negatively with the finalized price.

Keywords: American option; Trinomial Tree; Matlab; control variable; sensitivity

AmericanOptionPricingBasedonTrinomialTreeModelandItsMatlabProcedure

DONG Lishaa, WANG Xiangyub

(a.School of Mathematics and Information Science & Technology, b.School of Business Administration; Hebei Normal University of Science & Technology, Qinhuangdao Hebei,066004;China)

F830.91

A

1672-7983(2017)02-0007-05

10.3969/J.ISSN.1672-7983.2017.02.002

2017-03-21;修改稿收到日期2017-06-21

董丽沙(1988-)，女，硕士，助教。主要研究方向：概率论与数理统计。